【正文】 een’s function) 定義：設(shè)零均值平穩(wěn)序列能夠表示為 （1）則稱上式為平穩(wěn)序列的傳遞形式，式中的加權(quán)系數(shù)稱為格林（Green）函數(shù)，其中。非齊次方程的特解通常情況下不容易得到，沒有一個(gè)“萬能鑰匙”，需要具體問題具體分析，只能對(duì)一些具有特殊形式非齊次項(xiàng)的方程進(jìn)行討論。上述過程中計(jì)算并不方便，通常通過解方程得到其根為：。三、 齊次方程解的計(jì)算無重根 考慮齊次差分方程 其中 假定G1，G2，…，Gn是互不相同，則在時(shí)刻t的通解： 其中Ai為常數(shù)（可由初始條件確定）。第一節(jié) 線性差分方程一、 后移(Backshift)算子:1. 定義：后移算子B定義為，從而?！菊鹿?jié)實(shí)驗(yàn)】利用Eviews軟件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。第三，從連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程來看，ARMA(n，n—1)也是合理的。之所以以ARMA(n，n1)為基本模型是因?yàn)橄率隼碛桑? 第一，AR、MA、ARMA(n，m)模型都是ARMA(n，n1)模型的特殊情形。ARMA（2，1）與AR（1）的區(qū)別從模型形式看，ARMA（2，1）比AR（1）的項(xiàng)數(shù)多；從模型的動(dòng)態(tài)性看，ARMA（2，1）比AR（1）具有更長(zhǎng)的記憶；從計(jì)算所需的資料看，ARMA（2，1）需要用t期以前的，…，這需要從初期開始遞歸地計(jì)算出來，通常取零；從參數(shù)估計(jì)來看，ARMA（2，1）比AR（1）困難。第三節(jié) 自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型一、 ARMA（2，1）模型 ARMA（2，1）模型的形式：其中：與、和有相關(guān)關(guān)系，白噪聲。MA（1）模型的基本假設(shè)為：（1）系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)αt有一定的依存關(guān)系；（2）為白噪聲。（３） 系統(tǒng)行為是一系列獨(dú)立隨機(jī)變量的和，即 三、一般自回歸模型AR(n)其中：為白噪聲。二、 AR（1）模型的特例－隨機(jī)游動(dòng)１、 隨機(jī)游動(dòng)模型 ２、模型的特性（１） 系統(tǒng)具有極強(qiáng)的一期記憶性，系統(tǒng)在t1和t時(shí)刻的響應(yīng)，除隨機(jī)擾動(dòng)外，完全一致，差異完全是由擾動(dòng)引起的。（5） 普通回歸模型實(shí)質(zhì)是一種條件回歸，而AR（1）是無條件回歸。（3） 普通線性回歸是在靜態(tài)的條件下研究的；AR（1）是在動(dòng)態(tài)的條件下研究的。主要區(qū)別：（1） 普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應(yīng)的觀測(cè)值；ＡＲ（１）模型只需要一組隨機(jī)變量的觀測(cè)值。；。其中Xt 零均值平穩(wěn)序列，αt 為隨機(jī)擾動(dòng)。描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型。后一時(shí)刻的行為主要與前一時(shí)刻的行為有關(guān)，而與其前一時(shí)刻以前的行為無直接關(guān)系，即已知Xt1；Xt主要與Xt1相關(guān)。這樣的資料所揭示甲統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立地隨機(jī)變動(dòng)，系統(tǒng)無記憶能力。主要介紹三種單變量模型：自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型和自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型。（5）二階矩過程：若隨機(jī)過程對(duì)每個(gè)的均值和方差存在，則稱之為二階矩過程。（4）獨(dú)立增量隨機(jī)過程：對(duì)于任意正整數(shù)n，任意，隨機(jī)變量相互獨(dú)立。獨(dú)立同分布序列是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)序列。1,177。白噪聲是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。白噪聲序列（White noise）：如果時(shí)間序列滿足以下性質(zhì)：（1）（2）式中，當(dāng)t≠s時(shí)。其它概率性質(zhì)和偏自相關(guān)函數(shù)的定義將在以后章節(jié)介紹。即 上式的估計(jì)是無偏的。用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)，即相應(yīng)地，的自相關(guān)函數(shù)用以下記號(hào)平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)列和自相關(guān)函數(shù)列具有以下性質(zhì)：（1） 對(duì)稱性：；（2） 非負(fù)定性：對(duì)于任意正整數(shù)m，為非負(fù)定對(duì)稱方陣；（3） 。但反過來一般不成立。（Ⅱ）寬嚴(yán)，這是不言而喻的。通常說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)。（一）兩種不同的平穩(wěn)性定義： 嚴(yán)平穩(wěn)：如果對(duì)于時(shí)間t的任意n個(gè)值和任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程的n維分布滿足關(guān)系式：則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)且有ρ(t,t)=1。類似可以定義時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，即：時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)： （1） 對(duì)稱性：（2） 非負(fù)定性：對(duì)任意正整數(shù)m和任意m個(gè)整數(shù)k1, k2,。)有關(guān)。2,…,(i≠j)一個(gè)時(shí)間序列的所有有限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。)， i，j=0,177。),…所有二維分布是：Fij()，F(xiàn)0(根據(jù)柯爾莫哥夫定理，一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述。二、時(shí)間序列的概率分布和數(shù)值特征時(shí)間序列的概率分布一個(gè)時(shí)間序列便是一個(gè)無限維的隨機(jī)向量。1,177。此類隨機(jī)過程Xt是離散時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，稱它為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。1,177。1,177。上述定義可簡(jiǎn)單理解成：隨機(jī)過程是一簇隨機(jī)變量{Xt,t∈T}，其中T表示時(shí)間t的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻t而言，Xt是一普通的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。時(shí)間序列模型歸納總結(jié)復(fù)習(xí)隨機(jī)時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念一、隨機(jī)過程(Stochastic Process)定義 設(shè)（Ω,F,P）是概率空間，T是給定的參數(shù)集，如果對(duì)于任意t∈T，都有一定義在（Ω,F ,P）上的隨機(jī)變量X(t,ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族{X(t,ω),t∈T}為隨機(jī)過程。簡(jiǎn)記為{X(t,),t∈T}或{Xt,t∈T }或XT離散參數(shù)的隨機(jī)過程也稱為隨機(jī)序列或（隨機(jī)）時(shí)間序列。當(dāng)t={0,177。2,…}時(shí)，即時(shí)刻t只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過程{Xt,t∈T}可寫成如下形式，{Xt,t=0,177。2,…}。對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程的等間隔采樣序列，即{Xt,t=0,177。2,…}就是一個(gè)離散隨機(jī)序列。一個(gè)無限維隨機(jī)向量X=(…,X1,X0,X1,…)/的概率分布應(yīng)當(dāng)用一個(gè)無限維概率分布描述。時(shí)間序列所有的一維分布是：…，F(xiàn)1()，F(xiàn)1(1,177。時(shí)間序列的均值函數(shù)一個(gè)時(shí)間序列的均值函數(shù)是指：其中EXt表示在t固定時(shí)對(duì)隨機(jī)變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數(shù)Ft(時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)與隨機(jī)變量之間的協(xié)方差相似，時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)定義為：其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯(lián)合分布。 km，方陣為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。三、平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)時(shí)間序列是時(shí)間序列分析中一類重要而特殊的隨機(jī)序列，時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是關(guān)于平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析。 寬平穩(wěn)：若隨機(jī)過程的均值（一階矩）和協(xié)方差存在，且滿足（1）（2）則稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。二者的聯(lián)系：（Ⅰ）嚴(yán)寬：因?yàn)閷捚椒€(wěn)要求期望和協(xié)方差存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，而不能斷言一、二階矩存在。（Ⅲ）嚴(yán)平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)。（Ⅳ）對(duì)于正態(tài)過程來說，有：嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)（二）平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)為了敘述方便，常假定平穩(wěn)時(shí)間序列的均值為零，即。（三）平穩(wěn)序列的樣本統(tǒng)計(jì)量（1） 樣本均值時(shí)間序列無法獲得多重實(shí)現(xiàn)，多數(shù)時(shí)間序列僅包含一次實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)序列用時(shí)間均值代替總體均值。（2） 樣本自協(xié)方差函數(shù)第一式是有偏估計(jì)，第二式是無偏估計(jì)，但有效性不如第一式。四、幾類特殊的隨機(jī)過程（序列）：純隨機(jī)過程：隨機(jī)過程如果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，則稱其為純隨機(jī)過程。稱此序列為白噪聲序列，簡(jiǎn)稱白噪聲。（3）獨(dú)立同分布序列：如果時(shí)間序列中的隨機(jī)變量Xt,t=0,177。2,…,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而且Xt具有相同的分布，稱這樣的時(shí)間序列為獨(dú)立同分布序列。一般說，白噪聲序列與獨(dú)立同分布序列是不同的兩種序列，當(dāng)白噪聲序列為正態(tài)序列時(shí)，它也是獨(dú)立同分布序列，此時(shí)稱之為正態(tài)白噪聲序列。簡(jiǎn)單地講，就是任意兩相鄰時(shí)刻上的隨機(jī)變量之差（增量）是相互獨(dú)立的。（6）正態(tài)過程：若的有限維分布都是正態(tài)分布，則稱為正態(tài)隨機(jī)過程。第一節(jié) 自回歸模型一、一階自回歸模型AR(1) 如果時(shí)間序列獨(dú)立，就是說事物的后一時(shí)刻的行為主要與其前一時(shí)刻的行為毫無關(guān)系。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存性。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動(dòng)態(tài)性。即 記作AR（1）。 一階自回歸模型的特點(diǎn)Xt對(duì)Xt1有線性相關(guān)關(guān)系αt為獨(dú)立正態(tài)同分布序列 AR（1）與普通一元線性回歸的關(guān)系一元線性回歸一階自回歸兩個(gè)變量，Y為隨機(jī)變量，X為確定性變量；；；；；一個(gè)變量，為隨機(jī)變量；為白噪聲序列。還可假定為正態(tài)分布。（2） 普通一無線性回歸表示的是一隨機(jī)變量對(duì)另一個(gè)確定性變量的依存關(guān)系；而AR（1）表示的是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)其自身過去值的依存關(guān)系。（4） 二者的假定不同。主要聯(lián)系：固定時(shí)刻t1，且觀察值Xt1已知時(shí)，AR（1）就是一個(gè)普通的一元線性回歸。（２） 在時(shí)刻t1時(shí)，系統(tǒng)的一步超前預(yù)測(cè)就是系統(tǒng)在t1時(shí)的響應(yīng)Xt1，即。第二節(jié) 移動(dòng)平均模型一、 一階移動(dòng)平均模型MA（1）如果系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)αt存在一定的相關(guān)關(guān)系，則有MA（1）模型： 其中：為白噪聲。二、 一般移動(dòng)模型MA（m）模型的形式：其中：（1）Xt僅與，… ，有關(guān)，而與（j=m+1,m+2,…）無關(guān)；（2）為白噪聲。ARMA（2，1）模型的結(jié)構(gòu)：ARMA（2，1）模型是由一個(gè)AR（2）和一個(gè)MA（1）兩部分構(gòu)成。二、 ARMA（n，n1）模型ARMA（n，n1）模型的基本假設(shè)為：獨(dú)立于（j=n,n+1,…）,從而獨(dú)立于（j=n+1,n+2,…）.三、ARMA(n，n1)模型的合理性 為什么我們以ARMA(n，n1)模型為一般形式來建立時(shí)序模型呢?難道一個(gè)ARMA(n，n1)模型總可以描述一個(gè)時(shí)間序列嗎?對(duì)于平穩(wěn)系統(tǒng)來說，這是毫無疑問的。 第二，理論依據(jù)：用Hilbert空間線性算子的基本理論可以證明，對(duì)于任何平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，我們都可以用一個(gè)ARMA(n，n1)模型近似到我們想要達(dá)到的程度；用差分方程的理論也可以證明，對(duì)于n階自回歸，MA模型的階數(shù)應(yīng)該是n1。在一個(gè)n階自回歸線性微分方程和任意階的移動(dòng)平均數(shù)的形式下，如果一個(gè)連續(xù)自回歸移動(dòng)平均過程在一致區(qū)間上抽樣，那么，這個(gè)抽樣過程的結(jié)果是ARMA(n，n1)。第三章 ARMA模型的特性本章為本書重點(diǎn)之一，主要掌握三類模型的格林函數(shù)形式、平穩(wěn)性和可逆性條件、AFC和PAFC的形式和特點(diǎn)。2. 后移算子的性質(zhì)：(1) 常數(shù)的后移算子為常數(shù)：(2) 分配律：(3) 結(jié)合律：(4) 后移算子B的逆為前移算子(5) 對(duì)于，無限求和得前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分別表示為： 其中：二、 線性差分方程 可將寫成 這里 差分方程通解為： 這里，C (t)是齊次方程解，I (t)是特解。重根 設(shè)有d個(gè)相等的根，可驗(yàn)證通解為 對(duì)一般情形，當(dāng)?shù)囊蚴椒纸鉃? 齊次方程解便是 因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項(xiàng)Gt、多項(xiàng)式tj、衰減正弦項(xiàng)Dtsin(2πf0t+F)，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。由于的根與的根互為倒數(shù)，因此。此處叢略。 格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時(shí)刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“”的作用而生成，是j個(gè)單位時(shí)間以前加入系統(tǒng)的干擾項(xiàng)對(duì)現(xiàn)實(shí)響應(yīng)的權(quán)，亦即系統(tǒng)對(duì)的“記憶”。如若，則隨著j的增大而緩慢減小，表明系統(tǒng)的記憶較強(qiáng)；相反，若，則隨著j的增大而急劇減小，表明系統(tǒng)的記憶較弱.例：、（1）系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的記憶情況（三個(gè)序列由同一正態(tài)白噪聲序列模擬生成）： 比較前后三個(gè)不同參數(shù)的圖，可以看出：（１） 取正值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較平坦。（３） 越大，系統(tǒng)響應(yīng)回到均衡位置的速度越慢，時(shí)間越長(zhǎng)。三、AR系統(tǒng)的平穩(wěn)性由平穩(wěn)性的定義求