【正文】 么圓的面積就是:12247。求六年（1）班男男生與六年（2）班男生的人數(shù)比。方法點(diǎn)評(píng)：求兩個(gè)量的比時(shí)，首先要能正確分析與計(jì)算每個(gè)量所占的份數(shù)或分率，然后再進(jìn)行解答。所以，混合液中的鹽與水的比為：（+）︰（+）=︰=1︰3。若把兩杯鹽水混合在一起，這時(shí)鹽與水的比是多少？分析與解 要求混合液中的鹽與水的比是多少，只要求出混合液中鹽與水分別是多少就行了，因?yàn)閮芍槐酉嗤?，所以設(shè)每只杯子中的鹽水為1，則第一支杯子中的鹽占，水占；第二只杯子中的鹽占，水占。在這一講，我們一起研究這方面的知識(shí)。但是需要指出的是，題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，如果不是，方法就不同了，裂項(xiàng)法的主要計(jì)算方法可以用下面公式來(lái)概括。（）（2）例5：計(jì)算 分析與解 這道題的加數(shù)很多，如果采用同分后計(jì)算公分母一定很大，這顯然不切合實(shí)際。因而我們可以先采用分解質(zhì)因數(shù)，找出其中的規(guī)律，再進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。5()=145247。（）（2）分析與解 （1）被除數(shù)與除數(shù)中兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母分別相同，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：==145(),=5().所以，原式=（）247。2=1275方法點(diǎn)評(píng)：在數(shù)列求和中，發(fā)現(xiàn)與研究數(shù)列規(guī)律是解決有關(guān)問(wèn)題的前提，靈活選用合適的方法是基本策略，轉(zhuǎn)化與分組是主要方法和技巧。2=數(shù)列的和。設(shè)=A 1+=B，原來(lái)的算式可以轉(zhuǎn)化成：（1+A）BBA=B+ABAB=B所以本題的結(jié)果為：1+=方法點(diǎn)評(píng)：用字母是可以使復(fù)雜的算式變得簡(jiǎn)潔，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（1）9 （2）2003 =（63+）9 =（20032003）（2003） =63 9 + 9 =1（20032003+2003） =7+ =1 = =方法點(diǎn)評(píng)：有些分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算用一般的方法既麻煩又費(fèi)時(shí)，而且有容易出錯(cuò)，這時(shí)可以通過(guò)款差題目中的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，把一個(gè)數(shù)拆成幾個(gè)數(shù)，在計(jì)算，往往可以達(dá)到事半功倍的效果。例1：計(jì)算下面各題。因此，要學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須做到計(jì)算準(zhǔn)確而又迅速。比較與的大小。和比較和的大小。隨堂練習(xí)五： 比較與的大小拓展訓(xùn)練把下面及格分?jǐn)?shù)按照從大到小的順序起來(lái)。方法點(diǎn)評(píng) 當(dāng)a﹥b 時(shí)， ﹥,即一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個(gè)數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小，所以﹥。和分析與解 觀察這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)用上面的幾種方法無(wú)法解答。隨堂練習(xí)四： 試比較和的大小。想一想，這是為什么？的倒數(shù)是，的倒數(shù)是，因?yàn)椹?，所以﹤。和?：比較和，那個(gè)分?jǐn)?shù)大？分析與解 這道題中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)與上面幾個(gè)題中的分?jǐn)?shù)有所不同，雖然也可以采用通分或化成同分子的分?jǐn)?shù)的方法，但顯然不是最佳方法。方法點(diǎn)評(píng) 如果兩分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等時(shí)，我們可以用間接比較法，即先比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)與1的差，再確定這兩個(gè)數(shù)的大小。我們可以根據(jù)這一特點(diǎn)，先比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)與1的差，再確定這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，這種比較方法我們把它稱為“間接比較法”。分析與解 這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的值都比較大，無(wú)論采用“先同分、再比較”，還是“先化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較”的方法，都不容易。、例3：已知A=，B=。我們可以考慮將這些分?jǐn)?shù)先化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小。由150＞148 ＞145＞ 140＞ 138，可以得到：﹤﹤﹤﹤，即﹤﹤﹤﹤。就本題而言，如果用通分再比較，太麻煩，我們可以根據(jù)“同分子的分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)反而小”這一性質(zhì)，把這幾個(gè)分?jǐn)?shù)先化成同分子的分?jǐn)?shù)，在進(jìn)行比較就比較容易了。因?yàn)椋荆荆荆?所以D＞E＞C＞B＞A.隨堂練習(xí)一： 如果a=b=c=d(a、b、c、d均不等于0)，a、b、c、d四個(gè)數(shù)中，誰(shuí)最大?誰(shuí)最??？例2：將下列分?jǐn)?shù)從小到大排列起來(lái)： 、。那么，A就是的倒數(shù)，即；同理，B應(yīng)是，C是，D是，E是。下面我們可以運(yùn)用倒數(shù)的知識(shí)來(lái)解決這一問(wèn)題。例1： 已知A=B = C= D=E(ABCDE都不等于0)，將A、B、C、D、E按從大倒小的順序排疊起來(lái)。目 錄第1講 比較大小……………………………………………………………… 1第2講 速算與巧算…………………………………………………………… 4第3講 比的意義和應(yīng)用……………………………………………………… 7第4講 按比例分配……………………………………………………………10第5講 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）……………………………………………………13第6講 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）……………………………………………………15第7講 列方程解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題…………………………………………………17第8講 百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題…………………………………………………………19第9講 單位“1”的妙用…………………………………………………… 21第10講 倒推法解題……………………………………………………………23第11講 對(duì)應(yīng)法解題……………………………………………………………25第12講 利潤(rùn)和利息……………………………………………………………27第13講 巧算周長(zhǎng)………………………………………………………………29第14講 智求面積………………………………………………………………32第15講 雞兔同籠………………………………………………………………35思維訓(xùn)練檢測(cè)（一）……………………………………………………………37思維訓(xùn)練檢測(cè)（二）……………………………………………………………49第1講 比較大小在平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，我們經(jīng)常遇到一些題目： （1）比較這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。?、（2）試比較和，那個(gè)分?jǐn)?shù)大？……如果我們不去研究其中的規(guī)律，相信大家一定會(huì)很難解決這樣的題目。本講，我們主要來(lái)講一講有關(guān)比較大小的一些知識(shí)和方法。分析與解 為了方便比較，我們首先將這五個(gè)算式統(tǒng)一寫(xiě)成乘法形式，這樣原來(lái)的算式就變成A=B=C=D=E。首先我們可以假設(shè)所有算式的運(yùn)算結(jié)果等于1。這樣，我們很容易就能比較出這五個(gè)數(shù)的大小。分析與解 比較幾個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，課本上介紹的主要方法是先通分，再比較大小。因?yàn)?1的最小公倍數(shù)是60，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以把它們分別化為：、。方法點(diǎn)評(píng) 如果幾個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母比較大時(shí)，采用先通分、再比較的方法比較復(fù)雜。隨堂練習(xí)二： 把下列分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列起來(lái)。試比較A與B的大小。但仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都比分母小2。因?yàn)楸華比1少，B比1少，而﹤，所以A﹥B。隨堂練習(xí)三： 試比較下列兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。仔細(xì)分析這兩個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)的分母都比分子的14倍多7，所以我們可以線比較它們的倒數(shù)的大小，倒數(shù)大的那個(gè)分?jǐn)?shù)的值比較小。方法點(diǎn)評(píng) 從本題可以看出，如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母具有相同的倍數(shù)關(guān)系，而且余數(shù)相同，采用比較倒數(shù)的方法比較簡(jiǎn)便。例5：試比較下面兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。但分析其中的數(shù)據(jù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都加上同一個(gè)數(shù)：1000，就正好等于第二個(gè)分?jǐn)?shù)。同理，一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個(gè)數(shù)，得到的分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。、比較下面兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。比較與的大小。第2講 速算與巧算專題簡(jiǎn)析：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)的計(jì)算，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的在于運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。本講就介紹一些速算與巧算的技巧。（1）9 （2）2003分析與解 同學(xué)們都會(huì)計(jì)算帶分?jǐn)?shù)除法，但相信同學(xué)們看了這兩道題目后，都會(huì)感到計(jì)算太麻煩，如果我們開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：可以把（1）分成一個(gè)9的倍數(shù)與另一個(gè)較小得數(shù)，再利用除法的性質(zhì)就可以使計(jì)算簡(jiǎn)便；把例（2）中的被除數(shù)和除數(shù)利用商不變的性質(zhì)，同時(shí)除以2003后，計(jì)算就很簡(jiǎn)便了。隨堂練習(xí)一：計(jì)算：（1）55 （2）167例2：計(jì)算：（1+）（1+）—（1+）（）分析與解 這道題雖然算式很長(zhǎng)，但仔細(xì)分析其中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)組成這個(gè)算式的數(shù)并不多，我們可以把重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)用字母表示，這樣可以簡(jiǎn)化題意，方便簡(jiǎn)算。隨堂練習(xí)二： 計(jì)算：（1+）（+）（1++）（）例3：計(jì)算 分析與解 這組分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)是：分母為1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母為2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分母為3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)……且同分母的分?jǐn)?shù)的和依次為1，2，3，4，5…這是一個(gè)扥差數(shù)列，可以直接利用等差數(shù)列求和公式來(lái)計(jì)算，即（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)247。原式=1+2+3+4+…+49+50=（1+50）50247。隨堂練習(xí)三：計(jì)算：+例4：計(jì)算：（1）（）247。（）=145()247。5=29（2）我們注意到，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母盡管數(shù)據(jù)很長(zhǎng)，但每個(gè)數(shù)據(jù)分別是由2002和2003組成。因?yàn)?002=2002120022002=200210001200220022002=20021000110001所以2002+20022002+200220022002=2002（1+10001+100010001）同理2003+20032003+200320032003=2003（1+10001+100010001）原式==隨堂練習(xí)四：計(jì)算：（1）（）247。下面我們來(lái)分析一下：=1，=，….==1++…+=1= 方法點(diǎn)評(píng)：這種把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差或和的方法，叫做裂項(xiàng)法。當(dāng)a﹤b時(shí), = () 隨堂練習(xí)五： 計(jì)算 拓展訓(xùn)練1.、計(jì)算（1+ ） （+）（1++） （） 計(jì)算（） （） 計(jì)算 計(jì)算 計(jì)算（1+） （1）（1+）（1）…（1+）（1）  第3講 比的意義和應(yīng)用比有奇妙的作用，在許多分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，如果恰當(dāng)運(yùn)用比的知識(shí)，你會(huì)真正理解什么是“事半功倍”。例1：兩只相同的杯子中裝滿鹽水，一只杯子中鹽與水的比是1︰2,另一只杯子中鹽與比是1︰5 。兩只杯子中的鹽水混合后，鹽為+=，水為+=。答：混合后，鹽與水 的比為1︰3。隨堂練習(xí)一： 六年（1）班男、女人數(shù)的比是5︰4，六年（2）班男、女人數(shù)的比是2︰1，兩班人數(shù)相等。例2：如右圖，原形中的陰影部分面積占圓面積的，占正方形面積的，三角形中陰影部分的面積占三角形面積的，占正方形面積的。=16；三角形的面積為： 12247。所以這三個(gè)圖形的面積比就是：（12247。）=16︰12︰15方法點(diǎn)評(píng) 在求幾個(gè)量的比時(shí)，我們可以先假設(shè)其中一個(gè)量等于幾，然后根據(jù)條件計(jì)算出其他量，再求比，這樣解決問(wèn)題比較容易。這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比是多少？例3：有大小兩個(gè)長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)多，而小長(zhǎng)方形的寬比大長(zhǎng)方形的寬多。分析與解 大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)多，可以把小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)看做4份，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是1+4=5份；小長(zhǎng)方形的寬比大長(zhǎng)方形的寬多。所以，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比為：(510)︰ (411)=55︰44= 25︰22 答：大小兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比為 25︰22 。求兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)比。假設(shè)男人數(shù)的與女生人數(shù)的都是1，則男生人數(shù)為1=；女生人數(shù)為1=。（65）=5（人）男生人數(shù)就是：56=30（人）女生人數(shù)就是：55=25（人）答：男生有30人，女生有25人。這根繩子原來(lái)全長(zhǎng)多少米？ 例5： 小麗讀一本書(shū)，已讀的頁(yè)數(shù)和未讀的頁(yè)數(shù) 的比是 1︰5 ，若再讀45頁(yè)，則已讀的頁(yè)數(shù)和未讀的頁(yè)數(shù)的比是3︰ 5。若再讀45頁(yè)，則已讀的頁(yè)數(shù)和未讀的頁(yè)數(shù)的比是3︰ ，未讀的頁(yè)數(shù)看做5份，總頁(yè)數(shù)就是3+5=8份，這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)占總數(shù)的。（）=45247。隨堂練習(xí)五：一條路，已修的米數(shù)和未修的米數(shù)比為2︰3，后來(lái)又修了2000米，這時(shí)已修的米數(shù)與未修的米數(shù)比為3︰2。