【正文】 成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。本題針對某醫(yī)院眼科病床分配中存在的不合理現(xiàn)象，讓我們建立一個合理的病床安排模型，以解決病床的最優(yōu)分配問題，從而提高對醫(yī)院資源的有效利用。為了能夠全面地評價出模型的優(yōu)劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等綜合評價方法，并對應(yīng)建立了三個評價模型，以得出更為科學(xué)合理的結(jié)論。模型中，充分考慮了觀測期內(nèi)病人平均等待時間、病床平均周轉(zhuǎn)率、病床利用率和潛在流失率等指標(biāo)，且在制定尋優(yōu)策略時，引入了病人滿意度量化函數(shù)和優(yōu)先級函數(shù)，使得模型更加合理。綜合評價模型時，以該醫(yī)院目前的病床安排方案和我國醫(yī)院通用的病床安排方法為比較對象，借助上述三種評價方法和模型，進行了綜合評價比較，從綜合評價結(jié)果來看，本文的模型相對較優(yōu)（評價結(jié)果見表9）。針對問題四，由于住院部周六和周日不安排手術(shù)，對某些類型病人的病床安排產(chǎn)生了一定的影響，因此我們對問題二中模型的優(yōu)先級函數(shù)進行了相應(yīng)的調(diào)整，并利用進行了求解（結(jié)果見表10）。針對問題五，為了使所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短，本文建立了以其為目標(biāo)函數(shù)且?guī)Ъs束條件的非線性規(guī)劃模型，并利用了Lingo軟件對其進行求解，得出的結(jié)論是：分配給外傷、白內(nèi)障（雙眼）、白內(nèi)障（單眼）、青光眼、視網(wǎng)膜疾病等各類型病人的床位數(shù)依次為：11222，分別占總床數(shù)的比例為：%、%、%、%、%。關(guān)鍵詞： 病人平均等待時間；實際病床利用率；RSR法；滿意度量化函數(shù)；動態(tài)規(guī)劃模型；非線性規(guī)劃 21. 問題重述　　醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，病人到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務(wù)?！　≡撫t(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需2天。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只?！　∑渌劭萍膊”容^復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后23天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時間較長。由于急癥數(shù)量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First e， First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用?！　栴}二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院?！　栴}三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。 　　問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。3. 通用符號說明序號符號符號說明1第天安排給第類病人的病床數(shù)量2第天等待隊列中的第類病人數(shù)3第天新到的第類病人數(shù)4第天第類疾病第個病人的到達時間5病人期內(nèi)總等待時間6期內(nèi)病床平均周轉(zhuǎn)率7期內(nèi)病床使用率8潛在病人流失率4. 問題一：評價指標(biāo)體系的建立、評價方法和評價模型 問題一要求建立合理的評價指標(biāo)體系，用來評價病床安排模型的優(yōu)劣。為了使模型評價指標(biāo)體系全面地反映出模型的性能，盡可能地做到科學(xué)合理，且符合實際情況，所以必須認(rèn)真分析問題的組成和建模目標(biāo)。從目標(biāo)上看，本題要求建立病床安排模型。模型評價時，本文結(jié)合目前給定的病床安排數(shù)據(jù)和我國當(dāng)前一般醫(yī)院的實際情況，采用常用的密切值法、TOPSIS法和RSR法（秩和比法）三種綜合評價法，同時進行綜合比較評價，從而得出更為科學(xué)準(zhǔn)確的結(jié)論。指標(biāo)遞階次序按上述指標(biāo)排列先后次序從低到高。由于醫(yī)院病床的安排受到許多因素的交叉作用和影響，要全面、準(zhǔn)確、客觀、簡便地評價一個病床安排模型的優(yōu)劣，選擇合適的綜合評價方法顯得尤為重要。其中密切值法作為一種綜合評價方法，能夠準(zhǔn)確合理地評價醫(yī)院工作質(zhì)量，其計算方法簡便，結(jié)果直觀可靠。RSR法也是一種綜合評價方法，它以非參數(shù)法為基礎(chǔ)，對指標(biāo)的選擇無特殊要求，綜合能力強，可顯示微小變動，適用于各種對象，且簡單易行，使用方便。一般來講，用上述三種方法之一即可實現(xiàn)對三個對象的評價，但為了使評價的結(jié)果更加全面準(zhǔn)確，本文利用三種方法分別進行綜合評價，從而得出更為科學(xué)的評價結(jié)論。為了便于敘述，對各評價對象進行編號，代號如下：——該醫(yī)院原有的病床安排模型；——本文欲建立的病床安排模型；——一般醫(yī)院的病床安排模型。設(shè)由三個評價對象的各評價指標(biāo)組成的原始數(shù)據(jù)矩陣如表1所示：表1 原始數(shù)據(jù)矩陣模型低優(yōu)低優(yōu)高優(yōu)低優(yōu)高優(yōu)高優(yōu)高優(yōu)采用密切值法、Topsis法和RSR法對上述三種病床安排模型優(yōu)劣進行綜合評價，由于評價對象的各指標(biāo)值需在問題二中確定，因此這里僅給出各種評價方法的評價模型，綜合評價結(jié)果將在問題二的模型建立和求解之后給出。設(shè)高優(yōu)指標(biāo)為正向指標(biāo)，低優(yōu)指標(biāo)為負向指標(biāo)，當(dāng)評價指標(biāo)為正向指標(biāo)時取正值；當(dāng)評價指標(biāo)為負向指標(biāo)時取負值（即），從而可將矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)矩陣（即正向指標(biāo)矩陣）。 （3） （4）其中， （4）計算各評價對象到“最優(yōu)點”與“最劣點”的距離 （5） （6）（5）計算各模型的密切值 （7）其中。時，病床利用率最高，即為“最優(yōu)點”。（2）原始數(shù)據(jù)同趨勢化將原始數(shù)據(jù)低優(yōu)指標(biāo)（、）采用倒數(shù)法轉(zhuǎn)化為高優(yōu)指標(biāo)。 （9）其中，為原低優(yōu)指標(biāo)的倒數(shù)值。 （10） （11）（5）計算各評價對象的指標(biāo)值與最優(yōu)值、最劣值的距離根據(jù)下列公式進行求解： （12） （13） （6）計算各評價對象的指標(biāo)值與最優(yōu)值的相對接近程度根據(jù)下列公式計算值： （14）其中，值越接近于1說明評價對象越接近于最優(yōu)值；值越接近于0說明評價對象越接近于最劣值。低優(yōu)指標(biāo)：門診病人平均等待時間（低優(yōu)）、門診等待平均隊長（低優(yōu)）、出院者平均住床日數(shù)（低優(yōu)）。（2）計算值該問題有7個評價指標(biāo)，3個評價對象，因此的計算公式為： （15）其中，為第行第列元素的秩次，表示各評價對象，為各評價指標(biāo)的順序。（4）計算回歸方程經(jīng)相關(guān)回歸分析，值與高度線性相關(guān)。表2 RSR計算表模型IIIIII（5）分檔排序結(jié)果：根據(jù)回歸方程確定分檔界值，按最佳分檔得到分檔排序結(jié)果。以上三種科學(xué)的評價方法對資料無特殊要求，直觀、可靠、簡便易行，有較高的使用價值，可以為管理者提供科學(xué)的決策信息，亦廣泛應(yīng)用于醫(yī)療評價問題。上述評價模型建立后，可以在第二個問題中予以使用。由問題一確定的評價指標(biāo)體系可知，一個合理的病床安排模型應(yīng)該滿足病人平均等待時間最短、病床平均周轉(zhuǎn)次數(shù)最大、病床利用率最大等一系列指標(biāo)。動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。本文以每天的等待隊列人數(shù)為狀態(tài)變量，將給每天各類病人安排的床位數(shù)作為決策變量。模型求解后，依據(jù)問題一中建立的綜合評價模型，對該醫(yī)院目前的病床安排方法（I）、本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫(yī)院的病床安排情況（III）做了綜合比較評價。滿意度定義及其量化方法滿意度用以描述病人等待時的心里承受程度，主要由病人的入院等待時間決定。本文將對病人滿意度進行量化，使?jié)M意度值分布在0～1之間。對此，引入偏小型柯西分布函數(shù)來進行量化，其函數(shù)形式為: （16）由于所給病人類型有四種：外傷、白內(nèi)障、青光眼、視網(wǎng)膜疾病。故可視為該眼科有五類病人：外傷、白內(nèi)障（雙眼）、白內(nèi)障（單眼）、青光眼、視網(wǎng)膜疾病。此外，其他病人的滿意度值均需通過分布函數(shù)求解。下面以白內(nèi)障(雙眼)病人為例給出該類病人滿意度分布函數(shù)及求解方法：由于白內(nèi)障(雙眼)病人平均住院時間為9天，可以取，由三點值可求得參數(shù)為，于是得到函數(shù)表達式為： （17）同理可得白內(nèi)障(單眼)病人的滿意度分布函數(shù)表達式為： （18）青光眼疾病病人的滿意度分布函數(shù)表達式為： （19）視網(wǎng)膜疾病病人的滿意度分布函數(shù)表達式為： （20）上述各函數(shù)的圖像如下所示[69]：圖1 病人滿意度量化函數(shù)空床數(shù)預(yù)測在病床安排模型中，必須要知道每天的空床數(shù)，即每天的出院人數(shù)。數(shù)據(jù)表明，79個病床均被人占用，沒用空床。為此，對問題附錄中表1的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理，可求出每類病人的平均住院時間。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可以預(yù)測現(xiàn)在79位病人的出院時間，從而篩選出每天的空床數(shù)。根據(jù)本題的實際情況，我們將每一天作為一個階段，階段變量，分別表示第天，表示考察期。狀態(tài)向量的確定狀態(tài)表示每個階段開始時過程所處的自然狀況。為了表示方便，本文將外傷、白內(nèi)障（雙眼）、白內(nèi)障（單眼）、清光眼、視網(wǎng)膜疾病分別定義為第類疾病。設(shè)表示第天第類疾病的病床需求數(shù)，則狀態(tài)為一向量，且決策變量決策變量即所要求解的變量，當(dāng)一個階段的狀態(tài)確定后，決策變量決定它將演變到下一階段的狀態(tài)。根據(jù)問題的實際情況，本文建立如下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： （23）其中，表示第天第類病人的新增人數(shù)。通過問題一確定的評價指標(biāo)體系可知，一個合理的病床安排模型應(yīng)該使得病人的平均等待時間最短、病床平均周轉(zhuǎn)率最大及病床利用率最大等。具體表示如下：（1）期內(nèi)病人平均等待時間一個合理的住院安排方案，自然希望目前病人等待時間最短。其中表示9月11日，以后以此類推。（2）期內(nèi)病床平均周轉(zhuǎn)率病床平均平均周轉(zhuǎn)率一直是衡量醫(yī)院病床綜合利用率的重要指標(biāo)。設(shè)表示第天分配給第類病人的床位數(shù)，則在觀測期內(nèi)病床平均周轉(zhuǎn)率為： （25）（3）期內(nèi)病床使用率所謂期內(nèi)病床使用率是指在觀測期內(nèi)病床實際工作日數(shù)與病床可以提供的最大工作日數(shù)的比值。（4）期內(nèi)潛在流失率考慮到實際情況，當(dāng)病人等待時間過長導(dǎo)致滿意度降低時，該病人很可能會轉(zhuǎn)院。本文將此部分人數(shù)與總?cè)藬?shù)比值定義為潛在流失率。b）最優(yōu)函數(shù)結(jié)合實際情況，本文利用加權(quán)系數(shù)法將以上個指標(biāo)綜合為最優(yōu)函數(shù)，則最優(yōu)函數(shù)為： （28）優(yōu)化策略使指標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)值的策略是從開始的后部子過程的最優(yōu)策略，通過最優(yōu)策略和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，便可以求出最優(yōu)決策變量的值。考慮到疾病的類型不同，與其對應(yīng)的平均住院時間則不同。因而如果只考慮先來先服務(wù)的安排原則必然導(dǎo)致等待隊列越來越長，并且很可能出現(xiàn)非必須住院的病人占著病床資源，引起浪費。對于優(yōu)先級的確定，本文建立了以病人滿意度及手術(shù)時間限制為自變量的優(yōu)先級函數(shù)。顯然，病人等待時間越短，其滿意度越高。1）病人滿意度：。所謂橫向即為同一種疾病手術(shù)時間的選擇，例如白內(nèi)障（單眼）病人只有周一和周三可以進行手術(shù)治療，并且要有1至2天的術(shù)前準(zhǔn)備時間，因而白內(nèi)障病人在周一、周五、周六、周日的優(yōu)先級應(yīng)該比周二、周三、周四高。例如，同為周六，顯然白內(nèi)障病人的優(yōu)先級要大于青光眼和視網(wǎng)膜疾病病人。由于外傷病人屬于急癥病人，因而每天的優(yōu)先級都為最高。則外傷病人的優(yōu)先級函數(shù)為：對于白內(nèi)障（雙眼）病人，由于該類病人只能在周一治療第一只眼，在周三治療第二只眼，并且術(shù)前準(zhǔn)備為1至2天。同時為了盡量減少該類病人的非必須時間，將該類病人在其他時間的優(yōu)先級設(shè)置為0。所以為了減少該類病人的等待時間，同時考慮到白內(nèi)障（單眼）病人周一無法治療，還可選擇周三，而雙眼病人則必須為連續(xù)的兩天，故將該類病人在周五、周六的優(yōu)先級設(shè)定為小于白內(nèi)障（雙眼）病人的優(yōu)先級。同時為了盡量減少該類病人的非必須時間，將該類病人在其他時間的優(yōu)先級設(shè)置為0，則白內(nèi)障（單眼）病人的優(yōu)先級函數(shù)為： （30）對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病病人，由于僅限制其手術(shù)時間不能為周一和周三，但考慮到該類病人的術(shù)前準(zhǔn)備為2至3天，因而該類病人每一天均可入院，只是其優(yōu)先級函數(shù)系數(shù)較低。在模型準(zhǔn)備中，求解出9月11日出院人數(shù)為5人，利用模型中建立的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和最優(yōu)策略中優(yōu)先級函數(shù)，利用編寫程序，求得安排方案見表4：表4 9月11日入住病人安排方案入院先后順序入住病人類型病人序號門診時間優(yōu)先級數(shù)值1青光眼32008