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初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題-展示頁(yè)

2025-04-13 03:45本頁(yè)面
  

【正文】 請(qǐng)說(shuō)明理由.周長(zhǎng)類6.如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣3,0)、(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且頂點(diǎn)在直線x=上.(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE,點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說(shuō)明理由;(3)在(2)的條件下,連接BD,已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);(4)在(2)、(3)的條件下,若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合),過(guò)點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N,連接PM、PN,設(shè)OM的長(zhǎng)為t,△PMN的面積為S,求S和t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.等腰三角形類7.如圖,點(diǎn)A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,求證:△CEQ∽△CDO;(4)在(3)的條件下,若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.12.如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)試判斷△BCD的形狀,并說(shuō)明理由.(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.對(duì)應(yīng)練習(xí)13.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C,其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0),C點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在(1)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若點(diǎn)E是(1)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于直線AC的下方,試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).14.如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程;(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;(3)試判斷△AOC與△COB是否相似?并說(shuō)明理由;(4)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.15.如圖,在坐標(biāo)系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90176?!唷鰽BC為直角三角形,AB為△ABC外接圓的直徑;所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn),且坐標(biāo)為:(,0).(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直線BC的解析式為:y=x﹣2;設(shè)直線l∥BC,則該直線的解析式可表示為:y=x+b,當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即: x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;∴4﹣4(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;∴直線l:y=x﹣4.所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn),有:,解得:即 M(2,﹣3).過(guò)M點(diǎn)作MN⊥x軸于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=2(2+3)+23﹣24=4.平行四邊形類3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)、B(0,﹣3),點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.(2)若點(diǎn)P在第四象限,連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí),求△ABM的面積.(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題;解一元二次方程因式分解法;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;三角形的面積;平行四邊形的判定.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題;存在型.分析:(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式:把A(3,0)B(0,﹣3)分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組,解方程組即可;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3),用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng),即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=﹣=時(shí),PM最長(zhǎng)為=,再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可;(3)由PM∥OB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí),點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,然后討論:當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長(zhǎng)時(shí)只有,所以不可能;當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.解答:解:(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得解得,所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3.設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,解得,所以直線AB的解析式是y=x﹣3;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3),因?yàn)閜在第四象限,所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,當(dāng)t=﹣=時(shí),二次函數(shù)的最大值,即PM最長(zhǎng)值為=,則S△ABM=S△BPM+S△APM==.(3)存在,理由如下:∵PM∥OB,∴當(dāng)PM=OB時(shí),點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,①當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長(zhǎng)時(shí)只有,所以不可能有PM=3.②當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是;③當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或.4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板,其頂點(diǎn)為A(0,1),B(2,0),O(0,0),將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到的,又A(0,1),B(2,0),O(0,0),∴A′(﹣1,0),B′(0,2).方法一:設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c(a≠0),∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B,∴,解得:,∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2.方法二:∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0),設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x﹣2)將B′(0,2)代入得出:2=a(0+1)(0﹣2),解得:a=﹣1,故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;(2)∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)P(x,y),則x>0,y>0,P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=﹣x2+x+2.連接PB,PO,PB′,∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=12+2x+2y,=x+(﹣x2+x+2)+1,=﹣x2+2x+3.∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面積為:12=1,假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍,則4=﹣x2+2x+3,即x2﹣2x+1=0,解得:x1=x2=1,此時(shí)y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).∴存在點(diǎn)P(1,2),使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍. (3)四邊形PB′A′B為等腰梯形,答案不唯一,下面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可.①等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等;②等腰梯形對(duì)角線相等;③等腰梯形上底與下底平行;④等腰梯形兩腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)或用符號(hào)表示:①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)5.如圖,拋物線y=x2﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l:y=x﹣5上.(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)),試判斷△ABD的形狀;(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題;分類討論.分析:(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸,由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo),然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式,進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).則AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)可得,然后根據(jù)邊長(zhǎng)確定三角形的形狀.(3)若以點(diǎn)P、A、B、D為頂
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