高中圓的方程典型例題-展示頁
2025-04-04 05:41本頁面
【正文】 方程可得，代入圓的方程，有，整理，得．由于，故可得．∴，是上述方程兩根．故．得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求． 說明：求解本題時，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值．除此之外，還應(yīng)對求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^程中并沒有確保有交點(diǎn)、存在．解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感．例2已知對于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了．因此只要求出的最小值，的范圍就可求得．解法一：令，由得：∵且，∴．即，∴，∴，即又恒成立即恒成立．∴成立，∴．分析二：設(shè)圓上一點(diǎn)[因?yàn)檫@時點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程]問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解．解法二：設(shè)圓上任一點(diǎn)∴，∵恒成立∴即恒成立．∴只須不小于的最大值．設(shè)∴即．說明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點(diǎn)設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式．從代數(shù)觀點(diǎn)來看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換．例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同．某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離地的運(yùn)費(fèi)是地的運(yùn)費(fèi)的3倍．已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低．求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn)．分析：該題不論是問題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識，啟示我們在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用．解題時要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法．解：以、所確定的直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵，∴，．設(shè)某地的坐標(biāo)為，且地居民選擇地購買商品便宜，并設(shè)地的運(yùn)費(fèi)為元/公里，地的運(yùn)費(fèi)為元/公里．因?yàn)榈鼐用褓徹浛傎M(fèi)用滿足條件：價格＋地運(yùn)費(fèi)≤價格＋地的運(yùn)費(fèi)即：．∵，∴化簡整理得：∴以點(diǎn)為圓心為半徑的圓是兩地購貨的分界線．圓內(nèi)的居民從地購貨便宜，圓外的居民從地購貨便宜，圓上的居民從、兩地購貨的總費(fèi)用相等．因此可隨意從、兩地之一購貨．說明：實(shí)際應(yīng)用題要明確題意，建議數(shù)學(xué)模型．1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。所以，所求的直線的方程是或．過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為 解：設(shè)直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，1），解得或，∴直線方程為或.已知直線與圓相切，則的值為 .解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.類型三：弦長、弧問題例求直線被圓截得的弦的長.例直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例1若直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.例13 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計算中尋找解答．解法一：圓的圓心為，半徑．設(shè)圓心到直線的距離為，則．如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個切點(diǎn)中有一個切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．
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