高中圓的方程典型例題(存儲(chǔ)版)
【正文】 例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難．由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．解：設(shè)，連結(jié)，則，是切線，所以，所以四邊形是菱形．所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)．采取代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．例24 已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程．分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，在直角三角形中，若設(shè)，則．由，即，也即，這便是的軌跡方程．解法二：設(shè)、則，．又，即．①又與的中點(diǎn)重合，故，即?、冖伲冢校@就是所求的軌跡方程．解法三：設(shè)、由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有， ①， ?、谟钟捎小 、勐?lián)立①、②、③消去、即可得點(diǎn)的軌跡方程為．說明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了、四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、故只需列出三個(gè)方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．練習(xí)：由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、切點(diǎn)分別為、=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.解：，得，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，整理得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于 解：，得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問點(diǎn)的軌跡是什么？解：設(shè).∵，∴，∴，∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程是.例已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，的中點(diǎn)為.∵是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.∵直線經(jīng)過定點(diǎn)，∴，∴，化簡(jiǎn)得.∴點(diǎn)的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應(yīng)用例2 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、．一方面，由，得，即，也即：． ?、倭硪环矫?，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程 ?、诘膬蓚€(gè)根．∴，．?、塾?、在直線上，∴．將③代入，得． ?、軐ⅱ?、④代入①，解得，代入方程②，檢驗(yàn)成立，∴．解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得．由于，故可得．∴，是上述方程兩根．故．得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求． 說明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值．除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)?
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