高中圓的方程典型例題-wenkub
2023-04-10 05:41:47 本頁面
【正文】 圓與圓相切，則實數(shù)的取值集合是 .解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例1圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是 GOBNMyAx圖3CA’例17 自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點所經(jīng)過的路程．分析、略解：觀察動畫演示，分析思路．根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點的對稱點的坐標為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例19 (1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)(法1)由圓的標準方程．可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．則（其中）．所以，．(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1．所以．．所以．．(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．則．令，得，．所以，．即的最大值為，最小值為．此時．所以的最大值為，最小值為．(法2)設(shè)，則．由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．例20：已知，點在圓上運動，則的最小值是 .解：設(shè)，則，∴的最小值為.練習：1：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點與點（2，1），解得，∴的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時，解得，∴的最大值為，最小值為.2 設(shè)點是圓是任一點，求的取值范圍．分析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標代替、轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．解法一：設(shè)圓上任一點則有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍．解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離．∴解得：．另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：．說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例2基礎(chǔ)訓練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程.例2已知線段的端點的坐標是（4，3），端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的
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