概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第三章-展示頁
2025-03-31 04:09本頁面
【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ? 二維隨機(jī)變量 ? 邊緣分布 ? 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ? 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 167。 二維隨機(jī)變量 一、概念 定義 1 設(shè)在試驗(yàn) E的樣本空間 S={e}上定義了兩個 隨機(jī)變量 X、 Y,稱向量 (X,Y)為 二維隨機(jī)變量 或 二維隨 機(jī)向量 . 二維隨機(jī)變量 (X,Y)不僅與各個隨機(jī)變量 X,Y有關(guān) , 也與 X,Y間的 內(nèi)在聯(lián)系 有關(guān) . 因此 ,不能試圖通過單獨(dú)研究隨機(jī)變量 X,Y而來了解 二維隨機(jī)變量 (X,Y),必須將 (X,Y)作為一個整體來研究 . 類似于一維隨機(jī)變量 ,我們也可利用 “ 分布函數(shù) ” 來研 究二維隨機(jī)變量 (X,Y),并且分別就離散型與連續(xù)型來加 以分析 . 請 你 注 意 定義 2 設(shè) (X,Y)為二維隨機(jī)變量 ,稱二元函數(shù) },{),( yYxXPyxF ???為二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) ,也稱為隨機(jī)變量 X 與 Y的 聯(lián)合分布函數(shù) ,其中 為 任意實(shí)數(shù) . yx, 分布函數(shù) 在點(diǎn) 處的函數(shù)值就是事件 “ 隨機(jī)點(diǎn) (X,Y)落在以點(diǎn) 為右上頂點(diǎn)的角形區(qū) 域 ” 的概率 . ),( yxF),( yx),( yx二、分布函數(shù)及其性質(zhì) 定義域?yàn)槿矫? 分布函數(shù)具有下列 基本性質(zhì) : ? 關(guān)于 x、 y均 單調(diào)不減 右連續(xù) . ),( yxF ? 對任意點(diǎn) 均有： 21212211 ,),(),( yyxxyxyx ??},{ 2121 yYyxXxP ????。1),(。0),(),(),( ??????????? FxFyF ? 分布函數(shù)與離散型二維隨機(jī)變量 分布律 、連 續(xù)型二維隨機(jī)變量 概率密度 的關(guān)系 [見后 ]. 隨機(jī)向量落在矩形區(qū)域的概率 三、離散型二維隨機(jī)變量 概念 定義 3 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)所有可能取值為 有限個或可列無限個點(diǎn) ,則稱 (X,Y)為 二維離散型隨機(jī) 變量 . ).,2,1,(},{ ????? ? jipyYxXP ijji 分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)可能取值為 ),2,1,)(,( ??jiyx ji 則 (X,Y)的 分布律 (概率分布 )[X與 Y的 聯(lián)合分布律 ]為 分布律 滿足 : .11 1?? ?????i jijp 分布律可用表格 表示 : X Y ?? ixxx 21?? 12111 ippp?? ijjj ppp 21?? 22212 ippp???????jyyy21)。Y取值 1, 8. X與 Y的 聯(lián)合分布律 為 : P{X=0,Y=1}=P(φ)=0。 [TTT] P{X=1,Y=1}=3/8。 P{X=2,Y=1}=3/8。 P{X=3,Y=1}=P(φ)=0。 這樣一來，隨機(jī)變量取值落在某個平面區(qū)域 G上的概率就等于 G內(nèi)各可能取值點(diǎn)處概率之和。 四、連續(xù)型二維隨機(jī)變量 ,),(),( ? ??? ???y xd ud vvufyxF 概念 定義 4 設(shè) 為二維隨機(jī)變量 (X,Y)分布函數(shù) , 如果存在非負(fù)函數(shù) 使對任意實(shí)數(shù) 有 ),( yxF),( yxf yx,則稱 (X,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ,其中 稱為 隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度 ,或稱為隨機(jī)變量 X與 Y的聯(lián) 合概率密度 . ),( yxf概率密度及其性質(zhì) 概率密度具有下列 性質(zhì) : ? 設(shè) G為平面 xoy上的一個區(qū)域 ,則隨機(jī)點(diǎn) (X,Y) 落在 G內(nèi)的概率為 : .),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP)。1),( d x d yyxf[曲頂柱體體積 ] [確定待定參數(shù) ] ? ? 概率密度性質(zhì) .),(),(2yxyxFyxf???? ? 若 在點(diǎn) 處連續(xù) ,則有 ),( yxf ),( yx[由分布函數(shù)求概率密度 ] ,),(),( ? ??? ???y xd ud vvufyxF[由概率密度求分布函數(shù) ] ? 【 例 2】 (典型題） 設(shè) .(X,Y)的概率密度為 〖 解 〗 由概率密度性質(zhì)得 ??? ?????其它,0,0,0,),()2( yxCeyxfyx? ?????????? d x d yyxf ),(1(1)確定 C的值 。(3)求概率 }.{ XYP ? (1) 因?yàn)? ,2|)1(|)21( 002 CeeC yx ????? ??????200xyC e d x e d y? ? ? ???? ?? 所以 .2?C??? ?????其它,0,0,0,2),()2( yxeyxfyx 故 例 2續(xù) 1 (2)由概率密度求分布函數(shù) . ? 解題思路 ?畫出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 。 ? 綜合上述兩點(diǎn)得出就 (x,y)的分段情形 . ? ??? ???y xd u d vvufyxF ),(),(???????? ? ???,0,0,0,20 02其它yxdveduex yvu??? ??????,0,0,0,|| 002其它yxee yvxu??? ???????,0,0,0),1)(1( 2其它yxee yx例 2續(xù) 2 本例中分布函數(shù)應(yīng)分為兩段來計(jì)算 :就 x0,y0與 “ 其它 ” 。特別是會根據(jù) 不同形狀 的 概率密度非零區(qū)域 與所求概率的 事件 區(qū)域 G來處理這類問題。 邊緣分布 一、邊緣分布函數(shù)及其求法 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)為 ,X與 Y 作為單個隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為 ,稱 ),( yxF)(),( yFxF YX)(),( yFxF YX分別為二維隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X和關(guān)于 Y的 邊緣分布 函數(shù) . 問題 :聯(lián)合分布 (函數(shù) )與邊緣分布 (函數(shù) )有什么關(guān)系 ? 結(jié)論 :聯(lián)合分布 (函數(shù) ) 邊緣分布 (函數(shù) ) 但當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時 ,聯(lián)合分布 (函數(shù) )與 邊緣分布 (函數(shù) )可相互確定 .[167。 二、離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律 設(shè) 離散型 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 分布律 為 ? ????????xx jijXipxFxF1),()().,2,1,(},{ ????? jipyYxXP ijji 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合分布律關(guān) 系得：
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