【正文】 ，如此遞推即可得到一個解的序列，若這一解的序列有極限，即則稱為最優(yōu)解。[例65] 判斷下述非線性規(guī)劃是否是凸規(guī)劃解：的海賽矩陣正定，故為嚴格凸函數(shù)；的海賽矩陣半負定，故為凹函數(shù)。由此可見，凸規(guī)劃是一類比較簡單而又具有重要理論意義的非線性規(guī)劃。3凸規(guī)劃31 凸規(guī)劃的定義考慮非線性規(guī)劃： 假定其中為凸函數(shù)，為凹函數(shù)（為凸函數(shù)），這樣的非線性規(guī)劃稱為凸規(guī)劃。（3）二階條件證明：的海賽矩陣，因正定，固為嚴格的凸函數(shù)。[例64] 試證明是嚴格的凸函數(shù)（1）定義證明：對取任意兩點和，分別構造兩點的線性組合和兩點函數(shù)值的線性組合；即在的情況下，取，看下式是否成立： 顯然恒成立為嚴格的凸函數(shù)，同理也為嚴格的凸函數(shù)；所以為嚴格的凸函數(shù)。[性質5] 設為定義在凸集上的可微凸函數(shù)，若它存在點，使得對于所有的有，則是在上的最小點（全局極小點）。是凸集。[性質2] 設和為定義在凸集上的兩個凸函數(shù)，則其和=+仍然是定義在上的凸函數(shù)。因為凸函數(shù)是研究非線性規(guī)劃求解的基礎，所以凸函數(shù)的性質就顯得非常重要了。改變不等號的方向，即可得到凹函數(shù)和嚴格凹函數(shù)的定義。；定理2（充分條件）等價于，如果在點的梯度為零且海賽矩陣正定，則為的嚴格局部極小點?，F(xiàn)以代表矩陣中的元素，上述矩陣正定的條件可表示為：；；188。注：二次型，對于任意總有：（1） 若，則稱二次型和對稱矩陣正定；（2） 若，則稱二次型和對稱矩陣半正定；（3） 若，則稱二次型和對稱矩陣負定；（4） 若，則稱二次型和對稱矩陣半負定；（5） 若二次型不定，則稱對稱矩陣不定。[定理2（充分條件）] 設是上的一個開集，在上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，若且對任何非零向量都存在：則為的嚴格局部極小點。方向點圖62 梯度方向示意圖滿足或的點稱為平穩(wěn)點或駐點。22極值點存在的條件[定理1（必要條件）] 設是上的一個開集，在上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且在點取得局部極值，則必有 （61）或 （62）式（62）中，稱為函數(shù)在點處的梯度。189。189。非線性規(guī)劃則不然，局部最優(yōu)解未必就一定是全局最優(yōu)解。167。由于此最優(yōu)點位于可行域的內部，故事實上約束并未發(fā)揮約束作用，問題相當于一個無約束極值問題。22066圖61 圖解示意圖由圖61可見，等值線和約束條件直線66相切，切點即為此問題的最優(yōu)解，其目標函數(shù)值。又因等價于兩個不等式：；因此非線性規(guī)劃的數(shù)學模型也可以表示為： 非線性規(guī)劃問題的圖示[例63] 求解下述非線性規(guī)劃問題若令其目標函數(shù)，目標函數(shù)成為一條曲線或一張曲面；通常稱為等值線或等值面。為此，將各屬性進行兩兩比較可得如下判斷矩陣：其中：是第個屬性與第個屬性的重要性之比。若該商店總的營業(yè)時間為1000小時，試確定使其營業(yè)額最大的營業(yè)計劃。1非線性規(guī)劃的數(shù)學模型 非線性規(guī)劃問題[例61] 某商店經(jīng)銷、兩種產(chǎn)品，售價分別為20和380元。本章在簡要介紹非線性規(guī)劃基本概念和一維搜索的基礎上，重點介紹無約束極值問題和約束極值問題的求解方法。一般來講，非線性規(guī)劃問題的求解要比線性規(guī)劃問題的求解困難得多；而且也不象線性規(guī)劃問題那樣具有一種通用的求解方法（單純形法）。如果目標函數(shù)或約束條件中包含有非線性函數(shù)，就稱這樣的規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問題。第六章* 非線性規(guī)劃前面幾章，我們論述了線性規(guī)劃及其擴展問題，這些問題的約束條件和目標函數(shù)都是關于決策變量的一次函數(shù)。雖然大量的實際問題可以簡化為線性規(guī)劃及其擴展問題來求解，但是還有相當多的問題很難用線性函數(shù)加以描述。由于人們對實際問題解的精度要求越來越高，非線性規(guī)劃自20世紀70年代以來得到了長足的發(fā)展；目前，已成為運籌學的一個重要分支，在管理科學、最優(yōu)設計、系統(tǒng)控制等許多領域得到了廣泛的應用。非線性規(guī)劃沒有能夠適應所有問題的一般求解方法，各種方法都只能在其特定的范圍內發(fā)揮作用。167。據(jù)統(tǒng)計，而售出一件產(chǎn)品的平均時間與其銷售的數(shù)量成正比，表達式為。解：設和分別代表商店經(jīng)銷A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)，于是有如下數(shù)學模型：[例62] 在層次分析（Analytic Hierarchy Process, 簡記為 AHP）中，為了進行多屬性的綜合評價，需要確定每個屬性的相對重要性，即它們各自的權重。現(xiàn)需要從判斷矩陣求出各屬性的權重，為使求出的權重向量在最小二乘意義上能最好地反映判斷矩陣的估計，由可得： 非線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型同線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型一樣，非線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型可以具有不同的形式；但由于我們可以自由地實現(xiàn)不同形式之間的轉換，因此我們可以用如下一般形式來加以描述：其中是維歐氏空間中的向量點。此例，若設和可得兩個圓形等值線，見圖61。在此例中，約束對最優(yōu)解發(fā)生了影響，若以代替原來的約束，則新的非線性規(guī)劃的最優(yōu)解變?yōu)椋磮D61中的點，此時。注意：線性規(guī)劃存在最優(yōu)解，最優(yōu)解只能在其可行域的邊緣上（特別能在可行域的頂點上）得到；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果存在）則可能在可行域的任意一點上得到，并非僅局限在邊緣上。2極值問題21局部極值與全局極值因為線性規(guī)劃的目標函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)，所以其可行域是凸集，因此求得的最優(yōu)解就一定是整個可行域上的全局最優(yōu)解。下面就局部和全局極值問題給出如下一些定義：（1）對于189。均有不等式，則稱為在上的局部極小點，為局部極小值；（2）對于189。均有不等式，則稱為在上的嚴格局部極小點，為嚴格局部極小值；（3）對于均有不等式，則稱為在上的全局極小點，為全局極小值；（4）對于均有不等式，則稱為在上的嚴格全局極小點，為嚴格全局極小值。由數(shù)學分析可知，的方向為點處等值面（等值線）的法線方向，沿這一方向函數(shù)值增加最快，見圖62。極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點。此外，稱為在點處的海賽（Hesse）矩陣。由線性代數(shù)知識可知：若矩陣正定，則其各階左對角方陣的行列式大于零；若矩陣負定，則其各階左對角方陣的行列式負、正交替。；矩陣負定的條件可表示為：；；；188。23凸函數(shù)和凹函數(shù)1．定義設為定義在中某一凸集上的函數(shù)，若對于任何實數(shù)a（）以及中的任意兩點和，恒有：則稱為定義在上的凸函數(shù)，見圖63；若上式為嚴格不等式，則稱為定義在上的嚴格凸函數(shù)。圖63 凸函數(shù)示意圖凸函數(shù)和凹函數(shù)的幾何意義是十分明顯的，若函數(shù)圖形上任意兩點的連線，處處都不在函數(shù)圖形的下方，則此函數(shù)是凸函數(shù)；若函數(shù)圖形上任意兩點的連線，處處都不在函數(shù)圖形的上方，則此函數(shù)是凹函數(shù)。2．性質[性質1] 設為定義在凸集上的凸函數(shù)，則對于任意實數(shù)，函數(shù)也是定義在上的凸函數(shù)。[性質3] 設為定義在凸集上的凸函數(shù)，則對于任意實數(shù)，集合189。[性質4] 設為定義在凸集上的凸函數(shù)，則它的任一極小點就是它在上的最小點（全局極小點）；而且它的極小點形成一個凸集。3．判定（1） 根據(jù)凸函數(shù)的定義進行判定（2） 根據(jù)一階條件進行判定設為上的開凸集，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則為上的凸函數(shù)的充分必要條件是，對于屬于的任意兩個不同點和恒有：（3） 根據(jù)二階條件進行判定設為上的開凸集，在上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則為上的凸函數(shù)的充分必要條件是：的海賽矩陣在上處處半正定（）。（2）一階條件證明：取任意兩點、從而，看下式是否成立： 顯然恒成立所以為嚴格的凸函數(shù)。167。凸規(guī)劃的可行域是凸集，其局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解；若為嚴格凸函數(shù)，最優(yōu)解若存在必唯一。由于線性函數(shù)既可以視為凸函數(shù)也可以視為凹函數(shù)，故線性規(guī)劃也屬于凸規(guī)劃。由于其他約束條件均為線性函數(shù)，所以此非線性規(guī)劃是凸規(guī)劃。2．基本問題由于遞推步驟的有限性，一般說很難得到精確解，當滿足所要求的精度時即可停止迭代而得到一個近似解?！跋陆怠钡囊笃鋵嵤呛苋菀诐M足的，因此下降算法包括了很多具體的算法。沿方向前進一步相當于在射線上選定新的點；其中為搜索方向，為步長。步長的選定一般都是以使目標函數(shù)在搜索方向上下降最多為依據(jù)的，稱為最佳步長；即沿射線求目標函數(shù)的極小值： k：min()由于確定步長是通過求以為變量的一元函數(shù)()的極小點來實現(xiàn)的