[高等教育]高數(shù)9-2二重積分的計算-展示頁
2025-01-28 19:11本頁面
【正文】 ? ???xyok k k? ? ?? ? ??則除包含邊界點的小區(qū)域外 ,小區(qū)域的面積 k??),2,1( nkk ??? ?k?? ?kk ??? ???k???k??212 kk??? ??212 ()k k k? ? ?? ? ? ? ?及射線 ? =常數(shù) , 分劃區(qū)域 D 為 k?k??k??kk???在極坐標(biāo)系下 , 用同心圓 =常數(shù) ?c o s , s ink k k k k k? ? ? ? ? ???對應(yīng)有 在 k??( , ),kk??內(nèi)取點 0 1l im ( c o s , sin )nk k k k k k kkf?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ???? D yxf ?d),( dd? ? ?即 ( c os , si n )D f ? ? ? ?? ???d ? d?d???d1 ()? ? ????o2 ()? ? ??21()() ( c os , sin ) df???? ? ? ? ? ? ??12( ) ( ):D ? ? ? ? ?? ? ????? ???則 ( c os , sin ) d dD f ? ? ? ? ? ? ????? ?? ?d極點在邊界外 注意：積分域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示 如何確定上下限？ ?? 通 常 先 后極點在邊界上 ()? ? ????o0 ( ):D ? ? ?? ? ????? ???。0)1( ?? ??()? ? ??Doyx()? ? ??Doyx(1) (2) 22)2(??? ???0 ( ):02D? ? ??????? ???( c o s , sin ) d dD f ? ? ? ? ? ? ???()0 ( c o s , sin )fd?? ? ? ? ? ? ???? ? ?20 d()? ? ??oD極點在邊界內(nèi) 1 ()? ? ??Do2 ()? ? ??21( ) ( ):02D? ? ? ? ??????? ???何時選用極坐標(biāo)？ 積分域 D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域 被積函數(shù)形式： 22( ) ( ) ( )xyf x y f fyx? 或 或例 6. 計算 其中 2 2 2:.D x y a??解 : 在極坐標(biāo)系下 0:,02 aD ??????? ???原式 ??? D 20 da e ?????)1( 2ae ??? ?2xe? 的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角 dd? ? ? ?? ? ?20 d由于 故 坐標(biāo)計算 . )1( 2ae ??? ?注 : D: R x RR y R? ? ??? ? ? ??利用例 6可得到一個 反常積分公式 2d0 2 ??? ?? ? xe x2RR s1 s2 2 2 2 212: d d d dx y x yssR e x y e x y? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?2 204d xex ??? ? ??即oxyza2例 7. 求球體 1V=4V被圓柱面 xayx 222 ??所截得的 (含在柱面內(nèi)的 )立體的體積 . 解 : 由對稱性可知 : 0 2 c o s , 0 2Da ?? ? ?? ? ? ?224 4 d dDVa ? ? ? ?????2 c o s 220 4da a? ? ? ???)322(332 3 ?? ?axayx 222 ??2 2 a c o s? ? ??o 32?? ??61?? ??4 sin????yxyxD dd)( 22 ?? ?? 4 si n 22 si n d?? ? ? ??? )32(15 ???yyx 422 ??yyx 222 ??03 ?? yx例 8: 其中 D 為由圓 所圍成的 ,dd)( 22 yxyxD?? ? ,222 yyx ??yyx 422 ?? 03 ?? xy及直線 ,03 ?? yx解： 平面閉區(qū)域 . 03 ?? xy2 sin????24?? 36d?? ?例 9. 交換積分順序 ara r c c os??c o sa???oxa提示 : 積分域如圖 rr0 da ?? ?arcco s a?a rc c o s a???I ( , ) df ? ? ?第三節(jié) 一、 三重積分的概念 二、三重積分的計算 三重積分 第九章 一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想 , 采用 kkkk v?),( ????? ),( kkk ???引例 : 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 ? 內(nèi)分布著某種不均勻的 物質(zhì) , ,),( Czyx ?? 求分布在 ? 內(nèi)的物質(zhì)的 可得 ??nk 10lim???M“大化小 , 常代變 , 近似和 , 求極限” 解決方法 : 質(zhì)量 M . 密度函數(shù)為 定義 . 設(shè) ,)
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