[經(jīng)濟學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法-展示頁
2025-01-28 16:41本頁面
【正文】 IB 1???14 選取 陣，就得到解 的各種迭代法 . M bAx ? 設(shè) , 并將 寫為三部分 ),2,1(0 nia ii ??? A???????????????nnaaaA?2211??????????????????????????0000,121,211,112nnnnnnaaaaaa?????（ ） .ULD ?????????????????????????????00001,212,11,121nnnnnnaaaaaa?????15 雅可比迭代法 由 ，選取 為 的對角元素部分， M),2,1(0 nia ii ??? A解 的雅可比 (Jacobi) bAx ?即選取 (對角陣 )， ， DM ?NDA ????????? ,2,1,0,)()1()0(?kfBxxxkk），（ 初始向量（ ） 其中 ADIB 1??? 稱 為解 的雅可比迭代法的迭代陣 . J bAx ?由 ()式得到 .1bDf ??)(1 ULD ?? ? ,J?16 研究雅可比迭代法 ()的分量計算公式 . ,),( )()()(1)( Tknkikk xxxx ???記 由雅可比迭代公式 (), 有 ,)( )()1( bxULDx kk ????或 ).,2,1(1)(11)()1( nibxaxaxainijkjijijkjijkiii ?????? ???????于是，解 的雅可比迭代法的分量計算公式為 bAx ?17 ????????? ? ,),()0()0(1)0( Tnxxx ?,/1)()1(iinijjkjijiki axabx???????????? ???? （ ） .,1,0),2,1( 表示迭代次數(shù))( ?? ?? kni 由 ()式可知，雅可比迭代法計算公式簡單，每迭代 一次只需計算一次矩陣和向量的乘法且計算過程中原始矩 陣 始終不變 . A18 (下三角陣 )， 高斯 塞德爾迭代法 選取分裂矩陣 為 的下三角部分， M A 即選取 LDM ??,NMA ??于是由 ()式得到解 bAx ???????? ,2,1,0,)()1()0(?kfBxxxkk（初始向量），（ ） 其中 ,G?稱 為解 的高斯 塞德爾迭代法的迭 代陣 . ULDG 1)( ??? bAx ?的高斯 塞德爾 (GaussSeidel) .)( 1 bLDf ???ULD 1)( ???ALDIB 1)( ????19 研究高斯 塞德爾迭代法的分量計算公式 . ,),( )()()(1)( Tknkikk xxxx ???由 ()式有 ,)( )()1( bUxxLD kk ??? ?或 ,)()1()1( bUxLxDx kkk ??? ??).,2,1(1)(11)1()1( nixaxabxa nijkjijijkjijikiii ????? ????????即 記 20 于是解 的高斯 bAx ?????????? ? ( 初始向量) ,Tnxxx ),()0()0(1)0(?,/1)(11)1()1(iinijkjijijkjijiki axaxabx ???????? ??? ????????（ ） ).,1,0。,1( ?? ?? kni21 而由高斯 塞德爾迭代公式可知， 雅可比迭代法不使用變量的最新信息計算 ， )1( ?kix計算 個分量 )1( ?kx i 時， )1( ?kix利用了已經(jīng)計算出的最新分量 . )1,2,1()1( ??? ijx kj ? 由 ()可知，高斯 塞德爾迭代法每迭代一次只需計算 一次矩陣與向量的乘法 . 高斯 塞德爾迭代法可看作雅可比迭代法的一種改進 . 算法 1 (高斯 塞德爾迭代法 ) 設(shè) ， bAx ? 其中 為非奇異矩陣且 nnA ?? R0?iia),2,1( ni ??本算法用高斯 塞德爾迭代法解 ， bAx ?22 ),1( nix i ??? 迭代一次，這個算法需要的運算次數(shù)至多與矩陣 的 非零元素的個數(shù)一樣多 . A數(shù)組 開始存放 , )(nx )0(x ,)(kx后存放 0N為最大迭代次數(shù) . 0,2, Nk ??對于ni ,1 ??對于iinijjijijjijii axaxabx /111 ???????? ??? ??????23 例 2 按高斯 塞德爾迭代公式 ??????? ???? ,8/)2023( )(3)(2)1(1kkk xxx迭代 7次，得
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