【正文】 0011 APP。 例 4 設(shè) A=??????????010100011，求1991A。 例 3 設(shè) A=100100aaa??????，求mA（ 2m? ）。由于 E?與 N可交換，因此 ? ? ? ?kkkkkkkkkn NNCNCENEJ ??????? ??? 11211 ????? ?。 （ 1） 設(shè) J為若爾當(dāng)矩 陣時，將 J分解為對角陣與冪零矩陣的和，利用二項定理去求n。（即存在 n階可逆矩陣 P，使1 12( , , , )sP AP J diag J J J? ??，其中( 1, 2, , )i i s?為im階 Jordan塊 ， 即???????????????iJJJJ ?21，其中 iJ （ i=1,2,?,t）為若當(dāng)矩陣，則???????????????kikkKJJJJ ?21，按照（ 1）給出的方法計算 kiJ 。所以該方法只適用于可對角化的矩陣，而一個矩陣是否可對角化 要先判斷 n階方陣 A是否有 n個線性無關(guān)的特征向量。為自然數(shù)求 kAA k,533242111??????????????? 解 由于方陣 A的特征多項式為 ? ? ? ? ? ?62det2 ?????? ???A 所以方陣 A的特征根為6,2 321 ??? ??? 解方程組? ? 02 ??? xA得對應(yīng)于特征值221 ???的兩個線性無關(guān)的特征向量 ? ? ? ?TT 1,0,1,0,1,1 21 ??? ??. 解方程組? ? 06 ??? xA得對應(yīng)特征值63??的特征向量為?T3,2,13 ???. 故方陣 A可對角化 ,即存在可逆矩陣? ? ? ? ???? 6,2,2, 1321 digAPPP 使得??? 于是? ? 11 6,2,2 ?? ?????? PdigPPPA kkkkk =?????????????????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkk6326323632362262262262626254111 例 2 設(shè) 02 ??CBBA，其中 B= 5 10 1 02 2 3?????????， C= 121?，求100A。若 n階矩陣可分成塊對角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪 計算問題轉(zhuǎn)化為簡單子陣的高次冪計算問題，從而達到簡化計算的目的． 即對于分塊對角矩陣12SAAAA?????????，有12kkkkSAAAA?， 其中( 1, 2, , )iA i s?均為方陣。 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 7 第二章 方陣的冪的求解方法與技巧 利用矩陣對角化的方法求方陣的冪 定義 1：我們知道，若 A與 n階對角陣 D相似，則可求出一個 n階可逆陣 P，使1P AP D? ?,于是1nnPD P??。 結(jié)論 2：在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換 A 的特征多項式?jīng)]有 重根， 那么 A 在某組基下的矩陣是對角形的。 對角化定義 矩陣 A是數(shù)域 P上的一個 n級矩陣，如果存在一個 P上的 n級可逆矩陣 X，使 AXX1?為對角矩陣，則稱矩陣 A 可對角化。 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 形式為 ? ?tttJ???????????????????????1000010000010000,?????????的矩陣稱為若爾當(dāng)塊，其中?是復(fù)數(shù)。 矩陣的冪 k個 n階方陣連乘 ,稱為方陣 A的 k次冪 ,記為 kA 。 陣的乘法不適合交換律， 即 BAAB? 。（我們要求第二個矩陣的行數(shù)與第一個矩陣的列數(shù)相等）。 （ 2）矩陣的秩有以下幾個性質(zhì)： 性質(zhì) 1：設(shè) A 為 n n 矩陣，則 nAR ?)( 的充要條件是：矩陣 A 的行列式不為零； 性質(zhì) 2：對任意矩陣 A，其轉(zhuǎn)置矩陣 與 A 有相同的秩，即： )()( TARAR ? ； 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 5 性質(zhì) 3：矩陣 B、 C 的秩，均不小于它們相乘所得的矩陣 A＝ BC 的秩，即： )()( ARBR ? ， )()( ARCR ? ； 性質(zhì) 4：設(shè) A為 m n陣，如果 P、 Q分別為 m階、 n階的滿秩方陣，則： )()( ARPAR ? ，)()( ARAQR ? ，這個性質(zhì)表明，任何矩陣，經(jīng)與一個滿秩方陣相乘后，其秩不變。因此，根據(jù)定義得： 2)( ?AR 。 【例】證明???????????????????2130101001102A 的秩2)( ?AR 。 injrinjinjjrijijijrijijiaaaaaaaaaD.........212222212111?? 如果在 nm? 矩陣 A 中，有一個 k 階子式不為零，而所有的（ k＋ 1）階子式都為零，則說 A 的秩等于 k，記為 kAR ?)( . 當(dāng) A 的秩等于 m 時，則稱 A 為行滿秩陣，顯然有： nm? ；當(dāng) A 的秩等于 n 時，則稱 A 為列滿秩陣，顯然有： nm? 。對簡單矩陣的低次冪求解直接用矩陣乘法定義求解即可 。目前，對于矩陣高次冪的運算 問題，有許多人進行過研究，本文在此基礎(chǔ)上，以分類討論的思想，系統(tǒng)全面地介紹了一般 n 階矩陣及一些特殊矩陣的高次冪的求解方法。這些學(xué)科無不與矩陣?yán)碚摪l(fā)生緊密的結(jié)合，而在矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)研究中，常常涉及到方陣高次冪的計算。 矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支 —— 矩陣論。 1879 年，費羅貝尼烏斯引入矩陣 秩 的概念 。 哈密爾頓 證明了 44 矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數(shù)學(xué)家 弗羅貝尼烏斯 于 1898 年給出的。 ”他從 1858年開始，發(fā)表了《矩陣論的研究報告》等一系列關(guān)于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及 轉(zhuǎn)置 和 特征多項式 方程。他開始將矩陣作為獨立的數(shù)學(xué)對象研究時，許多 與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱利認(rèn)為矩陣的引進是十分自然的。 “矩陣”這個詞室友西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這是術(shù)語，從行列式的大量工作中明顯看出，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都是可以研究和使用的，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。 jordan standard form 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 目 錄 摘 要 ..................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... II 前 言 .................................................................................................................................... 3 第一章 預(yù)備知識 ...................................................................................................................... 4 矩陣的相關(guān)概念及性質(zhì) ............................................................................................ 4 矩陣的秩及性質(zhì) .............................................................................................. 4 矩 陣的乘法 ...................................................................................................... 5 矩陣的冪 .......................................................................................................... 5 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 .................................................................................................. 5 對角化定義 ...................................................................................................... 6 本章小結(jié) .................................................................................................................... 6 第二章 方陣的冪的求解方法與技巧 .................................................................................... 7 利用矩陣對角化的方法求方陣的冪 ........................................................................ 7 利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形方法求方陣的冪 ........................................................................ 8 利用數(shù)學(xué)歸納法求方陣的冪 .................................................................................. 10 什么是數(shù)學(xué)歸納法 ........................................................................................ 10 利用遞推公式方法求方陣的冪 .............................................................................. 12 利用二項式法求方陣的高次冪 .............................................................................. 13 秩為 1 的方陣的高次冪的求解 .............................................................................. 14 利用 HamiltoorCaylry 定理求方陣的冪 ............................................................... 16 本章小結(jié) .................................................................................................................. 17 結(jié) 論 ...................................................................................................................