【正文】 iiii XYYY 21 ??? ?? ????為此，我們求參數(shù)的估計值 使 殘差 平方和 21 ?,? ??? ??? ????????niniiiiinii XYYYeQ1 1221212 )??()?( ??達到最小。 XY 21 ??? ?? ??iii YYe ???具體地做法是讓殘差的平方和達到最小，這就是所謂的最小二乘準則。 Xi Yi iY?這意味著對所有的樣本點 (Xi, Yi) |?| ii YY ?都應盡可能小。 介紹了參數(shù)估計方法后，再具體說明這些假設的應用。 關于解釋變量 Xi的這一性質可以分為兩種情況： ?Xi是隨機變量但它與 uj無關，因此（ 6）成立。 （ 5） 即隨機擾動項都服從正態(tài)分布。 變量 X， Y之間成立的關系式對它們的每對對應的樣本值都成立，因此對任一對樣本值 Xi， Yi， i=1,2,…,n, 有 iii uXY ??? 21 ??估計參數(shù)的目的就是求參數(shù)的估計值 ，使得直線（稱為線性回歸方程） 21?,? ??XY 21 ??? ?? ??最好地擬合了這些樣本數(shù)據(jù)點，并且參數(shù)估計值還具有較好的統(tǒng)計性質。經濟與管理中廣泛利用線性回歸式來研究變量之間的解釋關系。 u是隨機干擾項，仍假設它與 X無關，從而與 ln X 無關。 這時兩個變量之間的不確定關系可以大致用如下包含對數(shù)的函數(shù)關系表示： uXY ??? ln21 ??其中多孩率 Y是被解釋變量，人均國民收入 X是解釋變量， β1, β2是兩個待估計的參數(shù)。 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入 與消費支出統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1 1 5 5 1331 1562 1749 2022 2299 2640 1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 187 0 2 1 1 2 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2022 共計 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0 0 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入 X（元） 每 月 消 費 支 出 Y （元） 如 E(Y | X=800)=605 例 多孩率與人均收入 人均收入與多孩率之間關系的散點圖人均國民收入500040003000202210000多孩率 %3020100不同地區(qū)的多孩率與人均國民收入之間的散點圖為 同樣有可能找到一條曲線，從平均的角度來反映兩個變量之間的關系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。 如果隨機干擾項 u的均值為 0，那么上式兩邊在 X的條件下求均值，就有 XXYE 21)|( ?? ??反映了從“平均”角度看的確定的函數(shù)關系（解釋關系）。 這時，兩個變量之間的不確定關系，可以用下式表示： uXY ??? 21 ??其中，人均食品消費支出 Y是被解釋變量，人均收入X是解釋變量， β1, β2是兩個待估計的參數(shù)，分別表示截距和斜率（反映了關于 X的邊際效益）。 例：收入與食品消費 人均收入 X與人均食品消費支出 Y之間的散點關系可以如下圖表示出來 人均收入與人均食品支出關系的散點圖人均收入4000300020221000人均食品支出140012001000800600400根據(jù)散點圖，我們有可能找到一條直線，從“平均”的角度來反映兩個變量之間的關系。通過此分析得到的信息，有助于公司把消費者的購買和使用結合起來考慮，調整生產，提供顧客需要的膠卷。它們之間的變動關系可用一條直線或線性關系近似表示出來。他們選擇了專業(yè)彩色攝影膠卷，抽取了分別已保存 1~13個月不等的膠卷以便研究它們保存時間和感光速率之間的聯(lián)系。自公司成立以來，就不斷地在化學、光學和電子學方面進行試驗和發(fā)展，以生產具有更高品質、更高可靠性和更為便利的攝影系統(tǒng)。 回歸分析 是研究隨機變量之間相關關系的一種統(tǒng)計方法，其用意是研究一個被解釋變量（因變量）與一個或多個解釋變量（自變量）之間的統(tǒng)計關系。 0246810120 1 2 3 4 5x1x2x3x4x5x6 y x1 x2 x3 x4 x5 x6 y 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 不確定型的函數(shù)關系 在社會經濟和管理中，變量之間的關系更經常地表現(xiàn)為不確定的函數(shù)關系。 更一般地，回歸分析在經濟管理中常被用來分析變量之間的非確切對應的關系。第 10章 線性回歸分析 《 管理統(tǒng)計學 》 謝湘生 廣東工業(yè)大學管理學院 例 設一個質點作勻速直線運動，其位移可以表示為 S=α +βt 。但在實驗中由于受到環(huán)境等干擾因素的作用，在每一個時刻，人們觀察到的不是準確的位移，而是具有誤差 S +ε ,記這一觀測值為 Y，則所有觀察數(shù)據(jù)滿足 ??? ??? tY注意到各誤差 ε實際無法確切地知道，因此要確定質點的運動規(guī)律，需要使用回歸分析的方法。 例 用來評價商業(yè)中心經營好壞的一個綜合指標是單位面積的營業(yè)額，它是單位時間內 (通常為一年 )的營業(yè)額與經營面積的比值．對單位面積營業(yè)額的影響因素的指標有單位小時車流量、日人流量、居民年平均消費額、消費者對商場的環(huán)境、設施及商品的豐富程度的滿意度評分．這幾個指標中車流量和人流量是通過同時對幾個商業(yè)中心進行實地觀測而得到的．而居民年平均消費額、消費者對商場的環(huán)境、設施及商品的豐富程度的滿意度評分是通過隨機采訪顧客而得到的平均值數(shù)據(jù)． 編號 y x1 x2 x3 x4 x5 x61 7 9 62 7 4 63 8 8 74 6 10 105 8 4 76 5 6 57 4 9 28 7 10 69 8 5 710 4 9 311 10 10 1012 5 6 713 1 5 2 414 7 4 615 10 7 916 8 7 917 6 7 118 7 10 9設各指標（變量）的變量名分別為：單位面積營業(yè)額：y，每小時機動車流量： x1，日人流量： x2，居民年消費額： x3，對商場環(huán)境的滿意度： x4，對商場設施的滿意度： x5，為商場商品豐富程度滿意度：x6． 問題： 對單位面積營業(yè)額的影響因素確實是如下 6個嗎？ 單位小時車流量、日人流量、居民年平均消費額、消費者對商場的環(huán)境、設施及商品的豐富程度的滿意度評分。如 銷售量與人口數(shù)量 銷售量與廣告費用 收入與受教育水平 。 它們之間存在著明顯的相互關系（稱為 相關關系 ），但這種關系又不像數(shù)學里常用到的確切的函數(shù)關系。 例：寶麗來公司 寶麗來公司是即時顯影技術的開拓者，并保持著技術領先地位。 在寶麗來的感光實驗室中，科學家們把即時顯像膠片置于一定的溫度和濕度下，使之近似于消費者購買后的保存條件，然后再對其進行系統(tǒng)的抽樣和分析。數(shù)據(jù)顯示，感光速率隨保存時間的延長而下降。 xy ???y—— 膠卷感光率的變動 x—— 膠卷保存時間（月） 從這一方程可以看出，膠卷的感光速率平均每月下降。 運用回歸分析，寶麗來公司建立了一個方程式，它能反映膠卷保存時間對感光速率的影響。 從經濟意義上看，這里人均收入可以作為解釋變量（解釋人均食品支出的變化。 u是隨機干擾項，通常假設它與 X無關，它反映了 Y被 X解釋的不確定性。 例 一個假想的社區(qū)有 100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關系。 收集了這 100戶家庭收入與消費支出的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)可將該 100戶家庭組成的總體按可支配收入水平劃分為 10組，具體數(shù)據(jù)見下表。 這里仍然將人均國民收入作為解釋變量。但是 β2不再表示邊際效益，而是表示當 X增加百分之一時， Y的增加值。 注意此時 Y與 X的關系并非線性關系，但經變換 XZ ln?就轉化為線性關系： uZY ??? 21 ?? 一元線性回歸 問題的提出 上面的這些例子中反映一個變量（被解釋變量）的變動可以被另一變量（解釋變量）來解釋的變量之間的關系的表達式 uXY ??? 21 ??就是最普通的 線性回歸式 。 線性回歸 的任務，就是用恰當?shù)姆椒?，估計出參?shù) β1, β2，并且使估計出來的參數(shù)具有良好的統(tǒng)計性質，由此可見， 回歸問題實際上是一種特殊的參數(shù)估計問題 。 高斯基本假設 對于線性回歸模型 niuXY iii , .. .,2,1,21 ???? ??高斯基本假設為： （ 1） ui為隨機變量； （ 2） E(ui) = 0, 即所有的隨機擾動項的期望值為零； （ 3） , 即所有的隨機擾動項的方差等于一個常數(shù)； 2)( uiuV a r ??（ 4） ；這等價于 )(0)( jiuuE ji ?? )(0)( jiuuC o v ji ??即所有不同的隨機擾動項的協(xié)方差等于零，也就是不同的隨機擾動項是不相關的。 ),0(~ 2ui Nu ?（ 6） E ( Xi uj ) = 0 對所有的 i和 j都成立。 ?Xi是確定型變量，它自然與 uj無關，因此（ 6）成立。 普通最小二乘法 (OLS: Ordinary Least Square) 對線性回歸模型 niuXY iii , .. .,2,1,21 ???? ??回歸分析的任務就是要求參數(shù)的估計值 ， 使得到的回歸方程 21?,? ??XY 21 ??? ?? ??最好地擬合了所有樣本數(shù)據(jù)點。 為了使得回歸直線 最好地擬合所有樣本數(shù)據(jù)，就應該使所有殘差 絕對值都盡可能小。 最小二乘準則： ??????niiinii YYe1212 )?(m i n最小二乘法就是根據(jù)最小二乘準則來確定 β1, β2 的估計值 的方法。注意到上式可以看成 的