【正文】 去湊微分 . 例 14 求 解 .c o s1 1? ? dxxdxxdxx? ?=?2c o s21c o s112Cx ?=2t a n例 15 dxxx xx? ?? c o ss i n s i nc o sdxxx xx? ?? c o ss i n s i nc o s dxxx xx? ? ??= c o ss i n )c o s( s i n解 ?= )2(2s e c 2 xd)c os(s i nc oss i n 1 xxdxx ??= ?Cxx ??= c o ss i nln例 18. ? xx dtan ?= xxx dc o ss i n )c os(dc os1 xx??=.|c o s|ln Cx ??=例 16. ?xx ds in 2 ? ?= xx d2 2c o s1 xx? ?= )d2c os1(21.)2s i n21(21 Cxx ??=例 17. ? xx dc o s 3 ? ?= xxx d) c o ss in1( 2)( s i n)ds i n1( 2 xx? ?=.s i n31s i n 3 Cxx ??=? 類似可得 Cxxd x ?=? s i nlnc ot例 19. ? xx ds e c?= xx dc o s1 xxx?= dc osc os 2? ?= )s i nd(s i n1 1 2 xx Cxx ???= s i n1 s i n1ln21? xx ds e c ???= xxxxxx dtans e ctans e cs e c 2? ??= )tan(s e cdtans e c 1 xxxx或 = ln|tanx+secx|+C. = ln|tanx+secx|+C. ? Cxxxdx ??=? |c o tc s c|lnc s c 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法， 不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循， 只能具體問題具體分析。 3 換元積分法 問題 ? x d x2co s ,2s i n Cx ?=解決方法 利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量 . 過程 令 xt 2= ,21 dtdx =?? x d x2co s dtt?= co s21 Ct ?= si n21 .2si n21 Cx ?=一、第一類換元法 xCx 2c o s]2s i n21[ =?? 說明結(jié)果正確 將上例的解法一般化： 設(shè) ),()( ufuF =? 則 .)()(? ?= CuFduuf如果 )( xu ?= （可微） dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ?=?? ?=?? CxFdxxxf )]([)()]([ ???? == )(])([ xuduuf ?將上述作法總結(jié)成定理，使之合法化，可得 —— 換元法積分公式 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)，? =? dxxxf )()]([ ?? ? = )(])([ xuduuf ?第一類換元公式 （ 湊微分法 ） 說明 使用此公式的關(guān)鍵在于將 ? dxxg )( 化為 .)()]([? ? ?? dxxxf觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同 . )( xu ?= 可導(dǎo)，則有換元公式定理 1 例 1 求 .2s in? xdx解 （一） ? xdx2si n ?= )2(2si n21 xxd 。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元。 在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的 方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)的方法。(a rc t a nxx ?=Cxdxx ?=?? a rc t a n1 1 212. 13. 例 1 求積分 .2 dxxx?解 dxxx? 2 dxx?= 25Cx??=?125125.72 27Cx ?=根據(jù)積分公式 Cxdxx ??=?? 11???例 2 求積分 .)1 21 3( 22 dxxx? ???解 dxxx )1213(22? ???dxxdxx? ? ???= 22 1 121 13xar c ta n3= xa r c s i n2? C?注意 檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看 其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù) 練習(xí) ?????????dtttdxxxdxxxdxxex)s i n1s i n3()4(1)3()11()2()s i n()1(22例 3 求積分 .)1(1 22dxxxxx????解 dxxx xx? ??? )1(1 22dxxx xx? ???= )1( )1( 22dxxx? ?????? ??= 11 1 2dxxdxx? ???= 11 1 2 .lna r c t a n Cxx ??=例 4 求積分 .)1(21222dxxxx???解 dxxx x? ?? )1( 21 222dxxx xx? ???= )1(1 2222dxxdxx ?? ??= 22 1 11 .a rc t a n1 Cxx ???=例 5 求積分 .2c o s1 1? ? dxx解 ? ? dxx2co s1 1 ? ??= dxx 1c o s21 1 2?= dxx2co s121 .t a n21 Cx ?=例 6 求積分 dxxx? ? 241解 dxxx? ? 241 dxxx????=2411)1(dxxx? ???= ]1 11[ 22 Cxxx ???= 331ar c t an例 7 求積分 dxxx? 22 c o ss i n 1解 dxxx? 22 c o ss i n 1 dxxx xx? ?= 22 22 c o ss i n c o ss i n? ?= dxxx ]s i n 1c os 1[ 22 Cxx ??= c ott an例 8 求積分 dxxx?2c o s2s i n122解 dxxx?2c o s2s i n122dxxx?=2c o s2s i n4422dxx?= 2s i n14 Cx ??= c ot4說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能利用性質(zhì)和基本積分表求出結(jié)果 .直接積分法 練習(xí) ??? ? ????xdxdxxdxxxdxxxdxxx2222222c o t)5(2s i n)4()1(1)3(1)2()1()1(引例的解決 (1) xoy平面上一曲線過點(diǎn) （ 0， 1） ，并在點(diǎn) (x,y)的斜率為 ex1，求此曲線。( c s c ?= ? ??= Cxx d xx c s cc o tc s c6. 7. 8. 9. 10. 11. 211)39。( c o t ?= ? ??= Cxx d x c o tc s c 2xxx tans e c)39。( c o s ?= ? ??= Cxx d x c o ss i nxx 2s e c)39。0,ln aaCaadxa xx5. xx c o s)39。0,ln)39。( ? ?= Cedxe xx3. 4. xx1)39。( =C ? = Cdx01. 2. 1)( ?=? ?? ? xx 1,11????=?? ???? Cxdxx167。 (2) 一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t以速度 v(t)=2t1運(yùn)動(dòng)，求 質(zhì)點(diǎn)從初始時(shí)刻 t=0到時(shí)刻 t所經(jīng)過的距離 f(t)． 這兩個(gè)問題和我們?cè)诘谌掠龅降膯栴}正好 相反！要解決這類問題，必須學(xué)習(xí) 不定積分 一、 原函數(shù)與不定積分 設(shè)函數(shù) f 的定義域?yàn)閰^(qū)間 I, 若存在 I上的可微函數(shù) F, 使 F