【正文】 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 即222()()()440bcacbacb???????，即222()()()cc， 即()()()()()()0baabcabc???????，即()[()()()]0cc?，即22()[]0bab?????，即22[()]bcab???，即()()()cca， 所以 0ba???或 0b??或 0b??，即 ac或 b??或 ca.因此，以 ,c為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90176。所以 1ID⊥ 2D，113IE25sinAsin4????. 同理，可求得 24IF5?， 2DI. 所以 1I2＝21DI??. 三． （本題滿(mǎn)分25分）已知 ,abc為正數(shù)，滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：3abc? ①14ab???? ②證明：以 ,bc為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法1 將①②兩式相乘，得( )()8cabacbb?????，即222()())8bcaca???， 即222()()()440bcc b????，即222()()()baac??， 即()()()()()()0cbcabc??????，即()[()()()]0baca? ?， 第 12 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 即22()[]0bcabc?????，即22()[()]0bcab????，即()()()ac， 所以 0ba???或 0b??或 0cb??，即 ac或 b??或 ca.因此，以 ,c為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 證法2 結(jié)合①式，由②式可得323214acbcab?，變形，得221104()4a??? ③ 又由①式得2)0bc，即22104()abcabc????，代入③式，得14[()]?，即 16()4096ca??. 3(6)(6)1256()abcabcabc?????340925610????， 所以 16a?或 b或 1c?.結(jié)合①式可得 ?或 ab或 ca?.因此，以 ,c為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 第二試 （B）一． （本題滿(mǎn)分20分）題目和解答與（A ）卷第一題相同.二． （本題滿(mǎn)分25分） 已知△ABC中，∠ACB ＝90176。1I2DBA C又CD⊥AB ，由射影定理可得2AC9D=B5?，故16D=AB5??，21D=A5??. 第 11 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 因?yàn)?1IE為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以 1IE＝3(ADC)25???.連接D 、D 2，則D 1I、D 2分別是∠ADC和∠BDC的平分線(xiàn)，所以∠ 1IDC＝∠ 1IDA＝∠ DC＝∠ DB＝45176。DAB CEA.63. B. 2. C. 13. D. 10.6．設(shè) n是大于1909的正整數(shù)，使得920n?為完全平方數(shù)的 n的個(gè)數(shù)是 （ B ）. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿(mǎn)分28分，每小題7分）1．已知 t是實(shí)數(shù)，若 ,ab是關(guān)于 x的一元二次方程 210xt???的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則2()ab?的最小值是_____ 3?_______.2． 設(shè)D 是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC 交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、 △DBF 的面積分別為 m和 n，則四邊形DECF的面積為_(kāi)__ 2mn___.3．如果實(shí)數(shù) ,ab滿(mǎn)足條件 21b??，2|2|1aba????，則 b??__ 1?____.4．已知 ,ab是正整數(shù)，且滿(mǎn)足52()ab是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì) (,)ab共有___7__對(duì).第二試 （A ）一． （本題滿(mǎn)分20分）已知二次函數(shù)2(0)yxc???的圖象與 x軸的交點(diǎn)分別為A、B，與 △ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：⊙P與 y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果AB恰好為⊙P 的直徑且 2ABCS△ ＝ ，求 b和 c的值. 第 10 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 解 （1）易求得點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0,)c，設(shè) 1A(,0)x， 2B(,)，則 12xb???， 12xc.設(shè)⊙P與 y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)AOB＝OCOD，則12Bc???.因?yàn)?0c?，所以點(diǎn) C在 y軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D 在 y軸的正半軸上，所以點(diǎn)D 為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因?yàn)锳B⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C 、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0,1)?，即 1c??. 又222211()4()4ABxxbc?????，所以2CSOb???△，解得 3?. 二． （本題滿(mǎn)分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD 上的高， 1I、 2分別是△ADC 、△BDC的內(nèi)心，AC ＝3，BC＝4，求 1I2.解 作 1IE⊥AB于E， F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC ＝3，BC＝4， 2AB=C+5?..解法2 結(jié)合①式，由②式可得323214acbcab???，變形，得221104()4a??? ③ 又由①式得2)0bc，即22104()abcabc????，代入③式，得14[()]?，即 16()4096ca??. 3(6)(6)1256()abcabcabc?????3409250????， 所以 1或 或 c.結(jié)合①式可得 ba?或 b?或 ca?. 第 8 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 因此，以 ,abc為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90176。AB邊上的高線(xiàn)CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分 第 6 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 線(xiàn) AM、BN 分別交于 P、Q兩點(diǎn) .PM、QN的中點(diǎn)分別為E、：EF ∥AB. 故∠ 1ID 2＝90176。FEI 第 1 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿(mǎn)分42分，每小題7分）1. 設(shè) 1a??，則 3261a??? （ A ）. B. 25. C. 470. D. 4712?.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C 的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC ＝ （ C ）A. 7. B. 10. C. 15. D. 3.3．用 []x表示不大于 x的最大整數(shù)，則方程2[]0x??的解的個(gè)數(shù)為 （ C ）. B. 2. C. 3. D. 4. 第 2 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A 、B、C 、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為 （ B ）A.314. B. 7. C. 12. D. 47.5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線(xiàn)AE ，則 sin?CBE＝ （ D ）DAB CEA.63. B. 2. C. 13. D. 10.6．設(shè) n是大于1909的正整數(shù)，使得920n?為完全平方數(shù)的 n的個(gè)數(shù)是 （ B ）. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿(mǎn)分28分，每小題7分）1．已知 t是實(shí)數(shù)，若 ,ab是關(guān)于 x的一元二次方程 210xt???的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則2()ab?的最小值是_____ 3?_______.2． 設(shè) D是△ ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn) E，作DF//AC 交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、△DBF的面積分別為 m和 n，則四邊形DECF的面積為_(kāi)__ 2mn___.3．如果實(shí)數(shù) ,ab滿(mǎn)足條件 21b??，2||1aba????，則 b??__ 1?____.4．已知 ,是正整數(shù)，且滿(mǎn)足5()a是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì) (,)共有___7__對(duì). 第 3 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在 更多內(nèi)容盡在 第二試 （A）一． （本題滿(mǎn)分20分）已知二次函數(shù)2(0)yxbc???的圖象與 x軸的交點(diǎn)分別為A、B ，與 y軸△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：⊙P與 y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn) .（2）如果AB恰好為⊙P 的直徑且 2ABCS△ ＝ ，求 b和 c的值.解 （1）易求得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 (0,)c，設(shè) 1(,0)x， 2(,)，則 12xb???， 12xc