【正文】 Q，則 QI= ． 20．如圖，矩形 EFGH 內(nèi)接于 △ ABC，且邊 FG 落在 BC 上，若 AD⊥ BC， BC=3， AD=2，EF= EH，那么 EH 的長為 ． 21．如圖，在矩形紙片 ABCD 中， AB=6， BC=10，點 E 在 CD 上，將 △ BCE 沿 BE 折疊，點 C 恰落在邊 AD 上的點 F 處；點 G 在 AF 上，將 △ ABG 沿 BG 折疊，點 A 恰落在線段BF 上的點 H 處，有下列結(jié)論： ①∠ EBG=45176。 ∠ B=60176。 CD 是 △ ABC 的完美分割線，且 △ ACD 為等腰三角形，求 ∠ACB 的度數(shù)． （ 3）如圖 2， △ ABC 中， AC=2， BC= ， CD 是 △ ABC 的完美分割線，且 △ ACD 是以CD 為底邊的等腰三角形，求完美分割線 CD 的長． 24．如圖， △ ABC 中， AB=AC， E 在 BA 的延長線上， AD 平分 ∠ CAE． （ 1）求證： AD∥ BC； （ 2）過點 C 作 CG⊥ AD 于點 F，交 AE 于點 G，若 AF=4，求 BC 的長． 25．如圖， △ ABC 為銳角三角形， AD 是 BC 邊上的高，正方形 EFGH 的一邊 FG 在 BC 上，頂點 E、 H 分別在 AB、 AC 上，已知 BC=40cm， AD=30cm． （ 1）求證： △ AEH∽△ ABC； （ 2）求這個正方形的邊長與面積． 26．如圖，在 △ ABC 中，點 D， E 分別在邊 AB， AC 上， ∠AED=∠ B，射線 AG 分別交線段 DE， BC 于點 F， G，且． （ 1）求證： △ ADF∽△ ACG； （ 2）若 ，求 的值． 27．如圖，在菱形 ABCD 中， G 是 BD 上一點，連接 CG 并延長交 BA 的延長線于點 F，交AD 于點 E． （ 1）求證： AG=CG． （ 2）求證： AG2=GE?GF． 28．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。動點 M 從點 B 出發(fā)，在BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 N 從點 C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒cm 的速度向點 B 勻速運動，設(shè)運動時間為 t 秒（ 0≤ t≤ 5），連接 MN． （ 1）若 BM=BN，求 t 的值； （ 2）若 △ MBN 與 △ ABC 相似，求 t 的值； （ 3）當(dāng) t 為何值時，四邊形 ACNM 的面積最??？并求出最小值． 29．如圖 ①， △ ABC 與 △ CDE 是等腰直角三角形，直角邊 AC、 CD 在同一條直線上，點M、 N 分別是斜邊 AB、 DE 的中點，點 P 為 AD 的中點，連接 AE、 BD． （ 1）猜想 PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論； （ 2）現(xiàn)將圖 ①中的 △ CDE 繞著點 C 順時針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。），得到圖 ②， AE 與 MP、BD 分別交于點 G、 H．請判斷（ 1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （ 3）若圖 ②中的等腰直角 三角形變成直角三角形，使 BC=kAC， CD=kCE，如圖 ③，寫出PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 30．【探究證明】 （ 1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明． 如圖 1，矩形 ABCD 中， EF⊥ GH， EF 分別交 AB， CD 于點 E， F， GH 分別交 AD， BC 于點 G， H．求證： = ； 【結(jié)論應(yīng)用】 （ 2）如圖 2，在滿足（ 1）的條件下，又 AM⊥ BN，點 M， N 分別在邊 BC， CD 上，若 = ，則 的值為 ； 【聯(lián)系拓展】 （ 3）如圖 3，四邊 形 ABCD 中， ∠ ABC=90176。 又 ∵∠ AMP=∠ BMQ， ∴△ PAM∽△ QBM， ∴ = ， ∵ AP=3 ， BQ= ， AB=2 ， ∴ = ， 解得： AM= ， ∴ tan∠ QMB=tan∠ PMA= = =2． 故選： D． 【點評】 此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出 △ PAM∽△ QBM 是解題關(guān)鍵． 4．（ 2022?蘭州）已知 △ ABC∽△ DEF，若 △ ABC 與 △ DEF 的相似比為 ，則 △ ABC 與 △DEF 對應(yīng)中線的比為（ ） A． B． C． D． 【分析】 根據(jù)相似三角形的對應(yīng)中線的比等于相似比解答． 【解答】 解： ∵△ ABC∽△ DEF， △ ABC 與 △ DEF 的相似比為 ， ∴△ ABC 與 △ DEF 對 應(yīng)中線的比為 ， 故選： A． 【點評】 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 5．（ 2022?金華）在四邊形 ABCD 中， ∠ B=90176。 ∴△ DAH∽△ CAB， ∴ = ， ∴ = ， ∴ y= ， ∵ AB＜ AC， ∴ x＜ 4， ∴ 圖象是 D． 故選 D． 【點評】 本題科學(xué)相似三角形的判定和性質(zhì)、相等垂直平分線性質(zhì)、反比例函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，注意自變量的取值范圍的確定，屬于中考?？碱}型． 6．（ 2022?隨州）如圖， D、 E 分別是 △ ABC 的邊 AB、 BC 上的點，且 DE∥ AC， AE、 CD相交于點 O，若 S△ DOE： S△ COA=1： 25，則 S△ BDE 與 S△ CDE 的比是（ ） A． 1： 3 B． 1： 4 C． 1： 5 D． 1： 25 【分析】 根據(jù)相似三角形的判定定理得到 △ DOE∽△ COA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到 = ， = = ，結(jié)合圖形得到 = ，得到答案． 【解答】 解： ∵ DE∥ AC， ∴△ DOE∽△ COA，又 S△ DOE： S△ COA=1： 25， ∴ = ， ∵ DE∥ AC， ∴ = = ， ∴ = ， ∴ S△ BDE 與 S△ CDE 的比是 1： 4， 故選： B． 【點評】 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 7．（ 2022?瀘州）如圖，矩形 ABCD 的邊長 AD=3， AB=2， E 為 AB 的中點， F 在邊 BC 上，且 BF=2FC， AF 分別與 DE、 DB 相交于點 M， N，則 MN 的長為（ ） A． B． C． D． 【分析】 過 F 作 FH⊥ AD 于 H，交 ED 于 O，于是得到 FH=AB=2，根據(jù)勾股定理得到AF= = =2 ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 OH= AE= ，由相似三角形的性質(zhì)得到 = = ，求 得 AM= AF= ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到= = ，求得 AN= AF= ，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：過 F 作 FH⊥ AD 于 H，交 ED 于 O，則 FH=AB=2 ∵ BF=2FC， BC=AD=3， ∴ BF=AH=2， FC=HD=1， ∴ AF= = =2 ， ∵ OH∥ AE， ∴ = = ， ∴ OH= AE= ， ∴ OF=FH﹣ OH=2﹣ = ， ∵ AE∥ FO， ∴△ AME∽ FMO， ∴ = = ， ∴ AM= AF= ， ∵ AD∥ BF， ∴△ AND∽△ FNB， ∴ = = ， ∴ AN= AF= ， ∴ MN=AN﹣ AM= ﹣ = ， 故選 B． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線，求出 AN 與 AM 的長是解題的關(guān)鍵． 8．（ 2022?丹東）如圖，在 △ ABC 中， AD 和 BE 是高， ∠ ABE=45176。 ∵ 點 F 是 AB 的中點， ∴ FD= AB， ∵∠ ABE=45176。 ∠ BAD+∠ ABC=90176。 AB=4， BC=3， EF=1，則 BN 的長度為何？（ ） A． B． C． D． 【分析】 由 DE∥ BC 可得 求出 AE 的長，由 GF∥ BN 可得 ，將 AE 的長代入可求得 BN． 【解答】 解： ∵ 四邊形 DEFG 是正方形， ∴ DE∥ BC， GF∥ BN，且 DE=GF=EF=1， ∴△ ADE∽△ ACB， △ AGF∽△ ANB， ∴ ①， ②， 由 ①可得， ，解得： AE= ， 將 AE= 代入 ②，得： ， 解得： BN= ， 故選： D． 【點評】 本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 AE 的長是解題的關(guān)鍵． 10．（ 2022?深圳）如圖， CB=CA， ∠ ACB=90176。 AD=AF=EF，證出 ∠ CAD=∠ AFG，由 AAS 證明 △ FGA≌△ ACD，得出 AC=FG， ①正確； 證明四邊形 CBFG 是矩形，得出 S△ FAB= FB?FG= S 四邊形 CBFG， ②正確； 由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出 ∠ ABC=∠ ABF=45176。 AD=AF=EF， ∴∠ CAD+∠ FAG=90176。=∠ ACB， ∴∠ CAD=∠ AFG， 在 △ FGA 和 △ ACD 中， ， ∴△ FGA≌△ ACD（ AAS）， ∴ AC=FG， ①正確； ∵ BC=AC， ∴ FG=BC， ∵∠ ACB=90176。 S△ FAB= FB?FG= S 四邊形 CBFG， ②正確； ∵ CA=CB， ∠ C=∠ CBF=90176。 ③正確； ∵∠ FQE=∠ DQB=∠ ADC， ∠ E=∠ C=90176。則 S1+S2+S3 的 值為（ ） A． B． C． D． 4 【分析】 先作輔助線 DH⊥ AB 于點 D，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以求得 DH 的長度，從而可以求得平行四邊形的面積，然后根據(jù)三角形的相似可以求得 S1+S2+S3 的值． 【解答】 解：作 DH⊥ AB 于點 H，如右圖所示， ∵ AD=2， AB=2 ， ∠ A=60176。=2 = ， ∴ S?ABCD=AB?DH=2 =6， ∴ S2+S3=S△ PBC=3， 又 ∵ E、 F 分別是 PB、 PC（ 靠近點 P） 的三等分點 ， ∴ ， ∴ S△ PEF= 3= ， 即 S1= ， ∴ S1+S2+S3= +3= ， 故選 A． 【點評】 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，畫出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題． 12．（ 2022?江西）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等．網(wǎng)格中三個多邊形（分別標(biāo)記為 ①， ②， ③）的頂點均在格點上．被一個多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部分線段長度之和記為 m，水平部分線段長度之和記為 n，則這三個多邊形中滿足 m=n 的是（ ） A．只有 ② B．只有 ③ C． ②③ D．