【正文】 ， (0) 0f ? ( ) ( ) ( ) ( )f a b f b f a f b? ? ? ? ? 0a? 時(shí)，在區(qū)間 [0, ]a 和 [ , ]b a b? 上， ()fx滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件， 1122( ) ( 0 ) ( )( ) ( ( 0 , )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( , )f a f f afaaaf b a f b f b a f bf b a bb a b a????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???有有 又 ()fx在 [0, ]c 上單調(diào)減少，而 12??? 21( ) ( )ff??????即 ( ) ( ) ( )f b a f b f aaa?? ? 故有 ( ) ( ) ( )f a b f a f b? ? ? （其中 ,ab是常數(shù)且滿(mǎn)足： 0 a b a b c? ? ? ? ?） 四 ．應(yīng)用題 （ 本題 8 分 ） 設(shè)生產(chǎn) t 個(gè)產(chǎn)品的邊際成本為 ttC 2100)( ??? ，其固定成本（即 0?t 時(shí)的成本）為 100元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為 500?P 元，假定生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能完全銷(xiāo)售，求生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解：由已知，邊際成本 cttdttdttCtC ??????? ? ? 100)2100()()( 2 由固定成本為 100，可得 1 0 01 0 0)( 02 ???? ?ttttCc 于是 有： 成本函數(shù)： 1 0 01 0 0)( 2 ??? tttC 收入函數(shù)： ttR 500)( ? 利潤(rùn)函數(shù)： 1 0 04 0 0)1 0 01 0 0(5 0 0)()()( 22 ?????????? ttttttCtRtL 由 04002)( ????? ttL ，得唯一駐點(diǎn) 2022 ?t ，又由 02)( ????? tL ，可知，駐點(diǎn) 0t 是極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn)。因此，當(dāng)生產(chǎn)量為 200 時(shí)，總利潤(rùn)最大。 2022— 2022 學(xué)年第 一 學(xué)期 《高等數(shù)學(xué) I》 (上 )期末 考試試卷 A 注意： 本試卷共 3 頁(yè)； 考試時(shí)間 120 分鐘 2 分 4 分 7 分 8 分 3 分 6 分 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 …………………….………….……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線(xiàn)………….……………………………… 姓名、學(xué)號(hào)必須寫(xiě)在指定地方 閱卷負(fù)責(zé)人簽名： 一 、填空題 （共 5 個(gè)小題，每小題 2 分，共 10 分） . 函數(shù) ( ) ln 2xf x x e? ? ? ?在(0,+ )內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 . 設(shè)函數(shù) ()y y x? 由方程 1 yy xe?? 所確定，則 dydx = . 220 (1 )x dxx?? ??? . 物體在力21() 4Fx x? ?的作用下從 0x? 沿直線(xiàn)移動(dòng)到 2x? ，且力 F 的方向 指向 x 軸正向，則力 F 在物體移動(dòng)過(guò)程中所做的功為 . 微分方程 6 8 0y y y?? ?? ? ?的通解為 . 二 、單項(xiàng)選擇題 （ 共 10 個(gè)小題，每小題 2 分，共 20 分） 將每題的 正確答案的代號(hào) A、 B、 C 或 D 填入下表中 . 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 下列各項(xiàng)中函數(shù) ( ) ( )f x g x和 相同的是（ ） A. 2( ln , ( ) 2 lnf x x g x x??） ； B. 3 43 3( ) , ( ) 1f x x x g x x x? ? ? ? ?； C. 2( ) , ( )f x x g x x??； D. 22( ) 1 , ( se c ta nf x g x x x? ? ?） . 下列極限中不正確的是（ ） A. sinlim 0xxx?? ?； B. 0sinlim 1xxx? ?； C. 2sinlim 1xxx?? ?； D. sinlim 0xxx?? ?. 題號(hào) 一 二 三 四 五 六 七 總分 得分 閱卷人 得分 閱卷人 得分 nnnnn1)4321(lim ?????=（ ） A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 設(shè) 322 ,1( 3,1xxfxxx? ??? ????） ，則 ()fx在 1x? 處的（ ） A. 左、右導(dǎo)數(shù)都存在； B. 左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在； C. 左導(dǎo)數(shù)不存在、右導(dǎo)數(shù)存在； D. 左、右導(dǎo)數(shù)都不存在 . 設(shè) 111()1xxefxe???，則 0x? 是 ()fx的（ ） A. 可去間斷點(diǎn)； B. 第二類(lèi)間斷點(diǎn)； C. 跳躍間斷點(diǎn)； D. 連續(xù) 點(diǎn) . 設(shè)在 [0,1] 上 ( ) 0fx?? ? ，則下面正確的為 （ ） . A． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ?； B． 1 ) (1 ) ( 0) ( 0)f f f f??? ? ?； C． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ?； D． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f? ? ?. 下列等式中不正確的是（ ） A. ? ?( ) (f x dx f x? ?? ）； B. ? ?0 ( ) ( )x f t dt f x? ?? ； C. ( ) ( )d f x dx f x dx?? ； D. ( ) ( )dF x F x?? . 下列計(jì)算正確的是（ ） A. 11 112 21()11 [ a r c ta n ]1121 ( )d xdxxxx???? ? ? ? ? ? ?? ???； B. 11221 , 11d x d tx t x x t t??? ? ?? ? ? ???令， 121 01dxxx??????； C. 22l im 011 AAAxxd x d x??? ? ?? ? ???????； D. 211 sin 3 0xe xdx?? ?? ? ?20 cossin? dxxx （ ） A. 0； B. 22； C. 2 2 1? ； D. 2 2 1?（）. 已知 21, ,y y x y x? ? ?是某二階非齊次線(xiàn)性微分方程的三個(gè)解，則該方程的 通解為（ ） A. 212C C x x??； B. 212(1 ) (1 )C x C x? ? ?； C. 2212(1 ) (1 )C x C x x? ? ? ?； D. 2212(1 ) (1 )C x C x x? ? ? ?. 三 、 計(jì)算下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） . 已知 2ln(1 )arctanxty t t? ??? ???，求 22,dyd ydx dx. 計(jì)算極限20 sinlim ln(1 2 )x x arc xxx? ? ?. 閱卷人 得分 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 …………………….………….……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線(xiàn)………….……………………………… 計(jì)算極限 2coslim xaxax t dtxa???? . 四、計(jì)算下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） (1 )dxxx??； 已知1 ,01()1 ,01 xxxfxxe? ??? ?? ?? ????，求 11 ()f x dx??； 閱卷人 得分 求微分方程 (1 2 )yxy x??? 的通解 . 五 、 解 下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） 求函數(shù) xxexf ln)( ? 的極值 . 證明：當(dāng) 0x? 時(shí)， arcta nln(1 ) 1 xx x?? ?. 閱卷人 得分 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 …………………….………….……答 題 不 要 超 過(guò) 密 封 線(xiàn)………….……………………………… 已知 sinxx 是 ()fx的一個(gè)原函數(shù)，求 ()xf x dx?? . 六、 （ 8 分） 設(shè)由曲線(xiàn) yx? ，直線(xiàn) 4x? 及 x 軸所圍圖形為 T. （ 1）求 T的面積； （ 2）求 T繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 閱卷人 得分 七 、 （ 8 分） 設(shè)光滑曲線(xiàn) ()yx?? 過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) 0x? ? ，對(duì)應(yīng)于 [0, ]x 一段 曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)為 1xe? ，求 ()x? . 習(xí)題 4?2 1. 在下列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù) ??使等式成立 (例如 ?? )74(41 ?? xddx : (1) dx???d(ax)。? 解 dx? 71 d(7x?3). (3) xdx? d(x2)。?閱卷人 得分 解 xdx? 101 d(5x2). (5) )1( 2xdxdx ?? 。? 解 x3dx? 121 d(3x4?2). (7)e 2x dx? d(e2x)。 解 )1( 2 22 xx eddxe ?? ??? . (9) )23(c o s 23sin xdxd x? 。 解 |)|ln5( 51 xdxdx ? . (11) |)|ln53( xdxdx ?? 。 解 )3(a rc ta n 31 91 2 xdxdx ?? . (13) )a rc ta n1( 1 2 xdxdx ??? 。 解 Cexdedte xxt ??? ?? 555 51551 . (2)? ? dxx 3)23( 。 解 Cxxdxdxx ????????? ?? |21|ln21)21(21 12121 1 . (4)? ?3 32 xdx 。 解 Cbeaxabxdebaxdaxadxeax