【正文】 (3)?? ??? 0sinxdx 。 (2) dxex?10 . 解 (1)取分點為 inabaxi ??? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nabxi ??? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區(qū)間上取右端點 inabaxii ????? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ??? ?????? ??????? ninni iinba n abin abaxx d x 11 )(l i ml i m ? )(21]2 )1()()([l i m)( 22222 abn nnababaab n ???????? ?? . (2)取分點為 nixi? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nxi 1?? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區(qū)間上取右端點 nixii ??? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ) (1l i m1l i m 21110 nnnnnni ninx eeennedxe ???????? ????? ?? 1)1(]1[l i m1])(1[1l i m11111????????????? eeneeeeennnnnnnnn . 3. 利用定積分的幾何意義 ??說明下列等式 : (1) 1210 ?? xdx 。 解 CxxCttdttt d tttxxdx ?????????????? ??? )21l n (2)1l n ()1 11(1 1221 令 . (39)? ?? 211 xdx 。 解 Ctt d ttdttxx dx ?????? ??? s i nc o st a n)1(t a n 1t a n)1(3232令 Cxx ??? 12 . (37)? ? dxxx 92 。 解 ???? ????? dttadttat d tata tataxdxxa x 2 2c o s1s i nc o sc o ss i ns i n 22222222 令, CxaxaxaCtata ??????? 22222 2a rc s i n22s i n421 . (35)? ?12xx dx 。 解 Cxxxxdxxdxxx x ????? ?? ln1)ln()ln( 1)ln( ln1 22 . (33)? dxxx xsincostanln 。 解 Cxxdxxdx xdxxx x ?????? ??? 2)(a rc t a na rc t a na rc t a n2)1(a rc t a n2)1(a rc t a n . (31)? ? 22 1)(arcsin xxdx 。 解 xdxx d xxxx d xx s e ct a nt a ns e ct a ns e ct a n 223 ??? ??? Cxxxdx ????? ? s e cs e c31s e c)1(s e c 32 . (29)? ? dxxx2arccos2110 。 解 Cxxdxxxdxxx ????? ?? 21s i n23s i n31)21c o s23(c o s212c o sc o s . (27)? xdxx 7sin5sin 。 解 Cttdttdtt ???????? ?? )(2s i n4 121)](2c o s1[21)(c o s 2 ??????? . (25)? xdxx 3cos2sin 。 解 CxxCxxdxxxdxxx ??????????????? ?? |12|ln31|1|ln|2|(l n31)1121(31)2)(1( 1 . (23)? xdx3cos 。 解 Cxxxdxxdxxdxxx ?????????? ??? )]9l n (9[21)()9 91(21)(9219 222222223 . (21)? ? dxx 12 12 。 解 )s i nc o s(c o ss i n 1c o ss i n c o ss i n 33 xxdxxdxxx xx ?????? ?? Cxxxxdxx ?????? ? ? 3231 )c o s(s i n23)c o s(s i n)c o s(s i n . (19)? ?? dxxx 2491 。 解 Cttdtdttt ?????????? ?? )(c o s3 1)c o s ()(c o s1)s i n ()(c o s 322 ???????????? . (17)? dxxx3cossin 。 解 CxCxxdxdxxx ????????????? ??? 221222122 3231)32(31)32()32(6132 . (15)? ? dxxx4313 。 解 .21)(21 222 2 Cexdedxxe xxx ?????? ??? ?? (13)? ? dxxx )cos( 2 。 解 Cxxdxdxx xxxdx ???? ??? |t a n|lnt a nt a n1t a ns e cc o ss i n 2. (11)? ?? dxee xx 1 。 解 Cxxdxxdxxxxx dx ???? ??? |lnln|lnlnlnlnln 1lnlnlnln 1lnlnln . (9)? ??? dxxxx 22 11tan 。 解 ? ? ???? Cttdtdtt t c o s2s i n2s i n . (7)? ? xdxx 210 sectan 。 解 CxCxxdxxdx ?????????????? ?? ? 3232313 )32(21)32(2331)32()32(3132 . (5)? ? dxeax bx )(sin 。 解 Cxxdxdxx ????????? ?? 433 )23(81)23()23(21)23( . (3)? ? dxx211 。 解 )a rc t a n1( )1( 1 2 xdxdx ???? . (14) )1( 1 22 xdxxd x ??? . 解 )1( )1( 1 22 xdxx d x ???? . 2. 求下列不定積分 (其中 a, b, ?, ?均為常數(shù) ): (1)? dtet5 。 解 |)|ln53( 51 xdxdx ??? . (12) )3(a rc tan 91 2 xdxdx ?? 。 解 )23(c o s 32 23s in xdx d x ?? . (10) |)|ln5( xdxdx? 。 解 e 2x dx? 21 d(e2x). (8) )1( 22 xx eddxe ?? ?? 。 解 )1( 21 2xdxdx ??? . (6)x3dx? d(3x4?2)。 解 xdx? 21 d(x2). (4) xdx? d(5x2)。 ? 解 dx??a1 ?d(ax). (2) dx? d(7x?3)。0, 即 f(x)186。0. (2)證法一 因為 f(x)在 [a, b]上連續(xù) , 所以在 [a, b]上存在一點 x0, 使 f(x0)?0, 且 f(x0)為 f(x)在 [a, b]上的最大值 . 再由連續(xù)性 , 存在 [c, d]?[a, b], 且 x0?[c, d], 使當 x?[c, d]時 , 2 )()( 0xfxf ? . 于是 ? ? ????ba dc cdxfdxxfdxxf 0)(2 )()()( 0. 證法二 因為 f(x)?0, 所以 0)( ??ba dxxf . 假如 0)( ??ba dxxf 不成立 . 則只有 0)( ??ba dxxf , 根據(jù)結(jié)論 (1), f(x)186。 (3)若在 [a, b]上 , f(x)?g(x), 且 ?? ? baba dxxgdxxf )()( , 則在 [a??b]上 f(x)186。0。 (3)? 331 arctanxdxx 。 (2) abdxdx baba ???? ?? 1 . 證明 (1) ???? ????? ???? bani iini iiba dxxfkxfkxkfdxxkf )()(l i m)(l i m)( 1010 ?? ?? . (2) ababxxdx ni ini iba ?????????? ????? ??? )(l i ml i m1l i m1 01010 ??? . 6. 估計下列各積分的值 : (1)? ?41 2 )1( dxx 。 (3)?? ??? 0sinxdx 。 (2) dxex?10 . 解 (1)取分點為 inabaxi ??? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nabxi ??? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區(qū)間上取右端點 inabaxii ????? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ??? ?????? ??????? ninni iinba n abin abaxx d x 11 )(l i ml i m ? )(21]2 )1()()([l i m)( 22222 abn nnababaab n ???????? ?? . (2)取分點為 nixi? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nxi 1?? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區(qū)間上取右端點 nixii ??? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ) (1l i m1l i m 21110 nnnnnni ninx eeennedxe ???????? ????? ?? 1)1(]1[l i m1])(1[1l i m11111????????????? eeneeeeennnnnnnnn . 3. 利用定積分的幾何意義 ??說明下列等式 : (1) 1210 ?? xdx 。 解 CxxCttdttt d tttxxdx ?????????????? ??? )21l n (2)1l n ()1 11(1 1221 令 . (39)? ?? 211 xdx 。 解 Ctt d ttdttxx dx ?????? ??? s i nc o st a n)1(t a n 1t a n)1(3232令 Cxx ??? 12 . (37)? ? dxxx 92 。 解 ???? ????? dttadttat d tata tataxdxxa x 2 2c o s1s i nc o sc o ss i ns i n 22222222 令, CxaxaxaCtata ??????? 22222 2a rc s i n22s i n421 . (35)? ?12xx dx 。 解 Cxxxxdxxdxxx x ????? ?? ln1)ln()ln( 1)ln( ln1 22 . (33)? dxxx xsincostanln 。 解 Cxxdxxdx xdxxx x ?????? ??? 2)(a rc t a na rc t a na rc t a n2)1(a rc t a n2)1(a rc t a n . (31)? ? 22 1)(arcsin xxdx 。 解 xdxx d xxxx d xx s e ct a nt a ns e ct a ns e ct a n 223 ??? ??? Cxxxdx ????? ? s e cs e c31s e c)1(s e c 32 . (29)? ? dxxx2arccos2110 。 解 Cxxdxxxdxxx ????? ?? 21s i n23s i n31)21c o s23(c o s212c o sc o s . (27)? xdxx 7sin5sin 。 解 Cttdttdtt ???????? ?? )(2s i n4 121)](2c o s1[21)(c o s 2 ??????? . (25)? xdxx 3cos2s