【正文】 8h (kN/m2). 若閘門高 H?3m, 寬 L?2m, 求水面與閘門頂相齊時(shí)閘門所受的水壓力 P. 解 建立坐標(biāo)系如圖 . 用分點(diǎn) inHxi? (i?1, 2, ? ? , n?1)將區(qū)間 [0, H]分為 n 分個(gè)小區(qū)間 , 各小區(qū)間的長為 nHxi?? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個(gè)小區(qū)間 [xi?1, xi]上 , 閘門相應(yīng)部分所受的水壓力近似為 ?Pi? il??x i . 閘門所受的水壓力為 2211 )1(l i i i m HLnnnHLnHinHLxLxP nninni iin ??????????? ???????? ?? . 將 L?2, H?3 代入上式得 P?(千牛 ). 5. 證明定積分性質(zhì) : (1) ?? ? baba dxxfkdxxkf )()( 。 (2) abdxdx baba ???? ?? 1 . 證明 (1) ???? ????? ???? bani iini iiba dxxfkxfkxkfdxxkf )()(l i m)(l i m)( 1010 ?? ?? . (2) ababxxdx ni ini iba ?????????? ????? ??? )(l i ml i m1l i m1 01010 ??? . 6. 估計(jì)下列各積分的值 : (1)? ?41 2 )1( dxx 。 (2)? ???4542 )sin1( dxx 。 (3)? 331 arctanxdxx 。 (4)? ?02 2 dxe xx . 解 (1)因?yàn)楫?dāng) 1?x?4 時(shí) , 2?x2?1?17, 所以 )14(17)1()14(2 41 2 ??????? ? dxx , 即 51)1(6 41 2 ???? dxx . (2)因?yàn)楫?dāng) ?? 454 ??x 時(shí) , 1?1?sin2x?2, 所以 )445(2)s i n1()445(1 4542 ???? ?? ??????? ? dxx, 即 ???? 2)sin1(4542 ???? dxx . (3)先求函數(shù) f(x)?x arctan x 在區(qū)間 ]3 ,31[ 上的最大值 M 與最小值 m. 21a rc t a n)( xxxxf ???? . 因?yàn)楫?dāng) 331 ??x 時(shí) , f ?(x)?0, 所以函數(shù) f(x)?x arctan x 在區(qū)間]3 ,31[ 上單調(diào)增加 . 于是 3631a rc t a n31)31( ???? fm , 33a rc t a n3)3( ???? fM . 因此 )313(3a rc t a n)313(36 331???? ? ?? x d xx, 即 32arc tan9 331?? ??? xd xx. (4)先求函數(shù) xxexf ?? 2)( 在區(qū)間 [0, 2]上的最大值 M 與最小值 m. )12()( 2 ??? ? xexf xx , 駐點(diǎn)為 21?x . 比較 f(0)?1, f(2)?e 2, 41)21( ??ef ,得 41??em , M?e 2. 于是 )02()02( 22041 2 ????? ? ?? edxee xx , 即 41022 22 2 ?? ???? ? edxdxee xx . 7. 設(shè) f(x)及 g(x)在 [a, b]上連續(xù) , 證明 : (1)若在 [a, b]上 ???f(x)?0, 且 0)( ??ba dxxf , 則在 [a, b]上 f(x)186。0。 (2)若在 [a, b]上 , f(x)?0, 且 f(x)?0, 則 0)( ??ba dxxf 。 (3)若在 [a, b]上 , f(x)?g(x), 且 ?? ? baba dxxgdxxf )()( , 則在 [a??b]上 f(x)186。g(x). 證明 (1)假如 f(x)?0, 則必有 f(x)?0. 根據(jù) f(x)在 [a, b]上的連續(xù)性 , 在 [a, b]上存在一點(diǎn) x0, 使 f(x0)?0, 且 f(x0)為 f(x)在 [a, b]上 的最大值 . 再由連續(xù)性 , 存在 [c, d]?[a, b], 且 x0?[c, d], 使當(dāng) x?[c, d]時(shí) , 2 )()( 0xfxf ? . 于是 0)(2 )()()()()()( 0 ??????? ????? cdxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf dcbddccaba . 這與條件 0)( ??ba dxxf 相矛盾 . 因此在 [a, b]上 f(x)186。0. (2)證法一 因?yàn)?f(x)在 [a, b]上連續(xù) , 所以在 [a, b]上存在一點(diǎn) x0, 使 f(x0)?0, 且 f(x0)為 f(x)在 [a, b]上的最大值 . 再由連續(xù)性 , 存在 [c, d]?[a, b], 且 x0?[c, d], 使當(dāng) x?[c, d]時(shí) , 2 )()( 0xfxf ? . 于是 ? ? ????ba dc cdxfdxxfdxxf 0)(2 )()()( 0. 證法二 因?yàn)?f(x)?0, 所以 0)( ??ba dxxf . 假如 0)( ??ba dxxf 不成立 . 則只有 0)( ??ba dxxf , 根據(jù)結(jié)論 (1), f(x)186。0, 矛盾 . 因此 0)( ??ba dxxf . (3)令 F(x)?g(x)?f(x), 則在 [a, b]上 F(x)?0 且 0)()()]()([)( ????? ???? babababa dxxfdxxgdxxfxgdxxF , 由結(jié)論 (1), 在 [a, b]上 F(x)186。0, 即 f(x)186。g(x). 4. 根據(jù)定積分的性質(zhì)及第 7 題的結(jié)論 , 說明下列積分哪一個(gè)的值較大 : (1)?10 2dxx 還是 ?10 3dxx ？ (2)?21 2dxx 還是 ?21 3dxx ？ (3)?21lnxdx 還是 ?21 2)(ln dxx ？ (4)?10xdx 還是 ? ?10 )1ln( dxx ？ (5)?10 dxex 還是 ? ?10 )1( dxx ？ 解 (1)因?yàn)楫?dāng) 0?x?1 時(shí) , x2?x3, 所以 ?? ? 10 310 2 dxxdxx . 又當(dāng) 0?x?1 時(shí) , x2?x3, 所以 . (2)因?yàn)楫?dāng) 1?x?2 時(shí) , x2?x3, 所以 . 又因?yàn)楫?dāng) 1?x?2 時(shí) , x2?x3, 所以 . (3)因?yàn)楫?dāng) 1?x?2 時(shí) , 0?ln x?1, ln x?(ln x)2, 所以 . 又因?yàn)楫?dāng) 1?x?2 時(shí) , 0?ln x?1, ln x?(ln x)2, 所以 . (4)因?yàn)楫?dāng) 0?x?1 時(shí) , x?ln(1?x), 所以 . 又因?yàn)楫?dāng) 0?x?1 時(shí) , x?ln(1?x), 所以 . (5)設(shè) f(x)?ex?1?x, 則當(dāng) 0?x?1 時(shí) f ?(x)??ex?1?0, f(x)?ex?1?x 是單調(diào)增加的 . 因此當(dāng) 0?x?1時(shí) , f(x)?f(0)?0, 即 ex?1?x, 所以 . 又因?yàn)楫?dāng) 0?x?1 時(shí) , ex?1?x, 所以 . 習(xí)題 4?2 1. 在下列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù) ??使等式成立 (例如 ?? )74(41 ?? xddx : (1) dx???d(ax)。 ? 解 dx??a1 ?d(ax). (2) dx? d(7x?3)。? 解 dx? 71 d(7x?3). (3) xdx? d(x2)。 解 xdx? 21 d(x2). (4) xdx? d(5x2)。? 解 xdx? 101 d(5x2). (5) )1( 2xdxdx ?? 。 解 )1( 21 2xdxdx ??? . (6)x3dx? d(3x4?2)。? 解 x3dx? 121 d(3x4?2). (7)e 2x dx? d(e2x)。 解 e 2x dx? 21 d(e2x). (8) )1( 22 xx eddxe ?? ?? 。 解 )1( 2 22 xx eddxe ?? ??? . (9) )23(c o s 23sin xdxd x? 。 解 )23(c o s 32 23s in xdx d x ?? . (10) |)|ln5( xdxdx? 。 解 |)|ln5( 51 xdxdx ? . (11) |)|ln53( xdxdx ?? 。 解 |)|ln53( 51 xdxdx ??? . (12) )3(a rc tan 91 2 xdxdx ?? 。 解 )3(a rc ta n 31 91 2 xdxdx ?? . (13) )a rc ta n1( 1 2 xdxdx ??? 。 解 )a rc t a n1( )1( 1 2 xdxdx ???? . (14) )1( 1 22 xdxxd x ??? . 解 )1( )1( 1 22 xdxx d x ???? . 2. 求下列不定積分 (其中 a, b, ?, ?均為常數(shù) ): (1)? dtet5 。 解 Cexdedte xxt ??? ?? 555 51551 . (2)? ? dxx 3)23( 。 解 Cxxdxdxx ????????? ?? 433 )23(81)23()23(21)23( . (3)? ? dxx211 。 解 Cxxdxdxx ????????? ?? |21|ln21)21(21 12121 1 . (4)? ?3 32 xdx 。 解 CxCxxdxxdx ?????????????? ?? ? 3232313 )32(21)32(2331)32()32(3132 . (5)? ? dxeax bx )(sin 。 解 Cbeaxabxdebaxdaxadxeax bxbxbx ??????? ??? c o s1)()(s i n1)(s i n. (6)? dtt tsin 。 解 ? ? ???? Cttdtdtt t c o s2s i n2s i n . (7)? ? xdxx 210 sectan 。 解 ? ? xdxx 210 sectan Cxxxd ??? ? 1110 t a n111t a nt a n . (8)? xxx dxlnlnln 。 解 Cxxdxxdxxxxx dx ???? ??? |lnln|lnlnlnlnln 1lnlnlnln 1lnlnln . (9)? ??? dxxxx 22 11tan 。 解 ? ??? dxxxx 22 11tan 22222 11c o s 1s i n11t a n xdxxxdx ??????? ?? Cxxdx ???????? ? |1c o s|ln1c o s1c o s 1 222 . (10)? xxdxcossin 。 解 Cxxdxdxx xxxdx ???? ??? |t a n|lnt a nt a n1t a ns e cc o ss i n 2. (11)? ?? dxee xx 1 。 解 ? ?? dxee xx 1 Cedeedxe e xxxx x ?????? ?? a rc t a n1 11 22 . (12)? ? dxxex2 。 解 .21)(21 222 2 Cexdedxxe xxx ?????? ??? ?? (13)? ? dxxx )cos( 2 。 解 Cxxdxdxxx ???? ?? )s i n (21)()c o s (21)c o s ( 2222 . (14)? ? dxxx 232 。 解 CxCxxdxdxxx ????????????? ??? 221222122 3231)32(31)32()32(6132 . (15)? ? dxxx4313 。 解 ?? ????????? Cxxdxdxxx |1|ln43)1(