【正文】 2E 的大小和方向?yàn)? ? ? ? ? ? ?1222 2 222 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1212 22 11 1 12sin c o s sin c o ssin c o stnE E E E E E EE?? ? ? ???????? ????? ? ? ? ? ? ???????? ?????? ?????? 2211arc ta n ta n??????? ????。 解 ： 對(duì)于軸對(duì)稱分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定 理 首先求磁場(chǎng)。 解 ： 對(duì)于球?qū)ΨQ分布，由高斯定理得 2241 1 1d44raab bQrUrr r a b??? ? ? ????? ? ? ??????Ea 故 4abQ abC U b a????? 當(dāng) b?? 時(shí)，可得半徑為 a 的弧立導(dǎo)體，其電容為 4Ca??? 。于是 ? ?0 12ddy d d nnyo Q Q Q SU y d CS S U d????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 故E l a a； （ 2）兩極板間電壓為 U，極板間電場(chǎng)為均勻分布，且等于 nUd??Ea 利用式（ ）可知SnUE d? ? ???。 設(shè)帶 Q? 和 Q? 的極板分別置于 yd? 和0y? 處，則 E 的方向與 y 反向。當(dāng) b?? 時(shí)， ?， ，J J H 和 0?B ，這是因?yàn)橛邢拊捶植荚跓o(wú)限大空間，對(duì)空間中 任 一點(diǎn)幾乎不存在 源 ，自然沒有源產(chǎn)生 場(chǎng) 。通過導(dǎo)磁圓柱的穩(wěn)恒電流為均勻分布，其體電流密度為 2z Ib??Ja 在區(qū)域 ? ＜ 22:2 Ib H J S b? ?? ????? ? ? ，22 Ib? ? ????? ???? ，Ha 2() 2πIb? ??? ???B H a 0? ?????????BM a H 20 1 2Ib? ??? ???????????????? ，a ? ? 20221 2z z S b zIIMJ bb? ? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?，1J M a a M a a； 在區(qū)域 ? ＞0: 22IIb ????? ????，H a B a。 在區(qū)域 r＞11200: 44r qqb rr??? ??? ，Ea，1 0 1 2 04r qr? ?? ? ?1，D E a P； 在區(qū)域 a≤ r≤2 220: 44rrrqqb rr?? ? ???? ，E a a 2221144z r r rqqrr? ? ???? ? ?????， ，D a P a 2 1 2 1 2 01 1 1 1d d = d = 144b r rr r r bbb rrqqE r E r rr b r?? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ?????????? ? ?； 在區(qū)域 r＜33220:044rrqqa rr? ? ?? ? ?， ，E a D a P， 3 2 3 drr a ra Er?? ???? 0 1 1 1 1 1 1 14 rrq b a r? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???。利用疊加原理可得 220 0 0212 21 2 1 2l n l n l n l n2 2 2z z zdxyI I ILL zdxyz? ? ??? ? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ??????? ??????A A A a a a。 上式近似寫為 200ln ln42zzIILL??? ? ? ?????????A a a。其中一根導(dǎo)線上所有電流元產(chǎn)生的矢量 磁 位都與 z 軸方向一致，可知 ? ? ? ? ? ?? ?122 21220 0 021122 2 22 2d l n l n4 4 4L Lz z zL LLLI I Iz zzz LL?? ? ??? ? ?? ?? ?? ?????????? ? ? ? ?????????? ???A a a a 式中 ? ?1222xy??? 。 7 第 3 章 解 ： 電荷元 dd 2 lqqa??? 在圓環(huán)軸線上場(chǎng)點(diǎn) P 的電位為 ? ?? ?12200 21220 2d 1 d 1d4 4 214q q lRa azqaz? ? ? ? ? ?? ?????????????? 故 ? ? ? ?332 2 2 22200 1d 44z z zq z qza z a z?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????E a a a。Bl 在區(qū)域 ? ＜ 1:0a ?B ； 在區(qū)域 a ≤ ? ≤ ? ? ? ?2222: S Ib I J aba ?? ?????? ? ??， ? ?? ?2202 222Iaba????????Ba； 在區(qū)域 ? ＞ 03: 2 Ib ? ????Ba。 故在 坐標(biāo)原點(diǎn)處 ? ? ? ? 00 1 2 2zx Ia?? ?? ? ? ?B H H a a。 6 解 ： 對(duì)于無(wú)限大面電荷分布，其電場(chǎng)垂直于無(wú)限大平面，具有面對(duì)稱分布 ， 應(yīng)用高斯定理時(shí)可跨平面作矩 形 盒高斯面，得 ? ? 0 Szz SE E S ???? 在區(qū)域 z＞ 0：02Sz???Ea ； 在區(qū)域 z＜ 0：02Sz ????Ea。 解 ： 對(duì)于柱對(duì)稱分布，應(yīng)用高斯定理 01ddS S SES??????209。 解 ： 對(duì)于球?qū)ΨQ分布，應(yīng)用高斯定理 001ddSSq S???? ? ???209。該圓環(huán)在軸上點(diǎn) P 產(chǎn)生的電場(chǎng)，由于對(duì)稱性， ? 分量相互抵消為零，只有 z 分量 ? ?322 20 dd 2 Sz zE z? ? ?????? ? ? 對(duì)整個(gè)圓面積分 ? ? ? ? ? ?3 1 10 2 2 2 222 2220 0 00d1 12 2 2aaS S SzzEz a zz? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ?? 故 ? ? 122 20 12 Sz zaz???????????Ea。 z d z ′ z ′ R P ? ? E? o z dE z dE dE ? ? P R z a ? o d l 5 解 ： 利用習(xí)題 的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。 解 ： 圓環(huán)上線元 dl? 處電荷元 dd 2 lqqa??? 可視為點(diǎn)電荷，它與圓環(huán)軸線上場(chǎng)點(diǎn) P 的距離為22R a z??，由軸對(duì)稱性知場(chǎng)點(diǎn) P 的電場(chǎng)強(qiáng)度只有 z分量，由庫(kù)侖定律知 ? ? 32 22 200d 1 dd c o s4 4 2z q q l zE Ra az?? ? ? ? ? ????? ???? ? 由圖知式中 ? 為 dE 與 dzE 的夾角。 解 ： 在圖中 z 軸上線元 dz? 處電荷元 dl z? ? 可視為點(diǎn)電荷，它與場(chǎng)點(diǎn) P 的距離為 R，由庫(kù)侖定律知，離導(dǎo)線為 ? 處場(chǎng)點(diǎn) P的電場(chǎng)強(qiáng)度為對(duì) 20dd cos4 l zE R? ? ??? ?? 在22?????????， 范圍 內(nèi)對(duì) ? 取積分。 4 第 2 章 解 ： q3受到 q1和 q2的作用力應(yīng)當(dāng)?shù)戎捣聪颍?3q 應(yīng)位于 1q 和 2q 的 連 線上某點(diǎn)處。 3 解 ： ? ? ? ?22 20x y x yxy??? ? ? ? ? ? ，F(xiàn)? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22 2 4x y z zx y x y x y x y yz z x y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???F a a a a 由亥姆霍茲定理判定 知， 這是屬于第三類的無(wú) 散 有旋場(chǎng)。u? 等效，令標(biāo)量位 u?? 得 ????E 。 解 ： 1100zc c cz? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1， =B a aB，由亥姆霍茲定理判定這是載流源在無(wú)源區(qū) ( 0)??GJ 產(chǎn)生的無(wú) 散 場(chǎng)。 解 ： ? ? ? ? ? ? 1 1 1 3x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?r。 解 ： ? ?2 2 223x y z x z zy x y z y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?a a a a a a在點(diǎn)（ 2， 1， 1）處 ? ?2 1 1 33x y z ll?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， ， ； Aa a a a A ? ? ? ?113 3 2 233x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a a。 解 ： （ 1） 1 1 1 0 0 0z z z z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a；0 0 0z z z z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a a a a。 解 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 2 6 4 2 8 0? ? ? ? ? ? ? 正 交AB 。 1 《電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)教程》 （符果行編著）習(xí)題解答 第 1 章 解 ： （ 1） ? ? 22 2 2 21 2 3 1 4x y zA A A? ? ? ? ? ? ? ?A， ? ?24 1 1 7? ? ? ?B ， ? ?225 2 29? ? ? ?C ； （ 2） ? ? ? ? ? ?1 1 12 3 4 5 21 4 1 7 2 9A x y z B y z C x z? ? ? ? ? ? ? ?， ， ；Aa a a a a a a a a aA （ 3） ? ? ? ? 22+ 2 4 3 1 2 2 1 ( 2 ) ( 2 ) 3x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， = ；A B a a a a a a A B （ 4） ? ? ? ?2 3 4 1 1x y z y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B a a a a a （ 5） ? ? ? ?2 3 4 1 0 4x y z y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B a a a a a a a a （ 6） ? ? ? ? ? ?1 0 4 5 2 4 2x y z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B C a a a a a （ 7） ? ? ? ? ? ?x21 0 4 5 2 2 4 0 5x y z x z y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C a a a a a a a a。 解 ： 12c o s 6 8 . 5 61078???? ? ? ?， ；ABAB A 在 B 上的投影 12c o s 1 4 1 . 3 71078BAA ?? ? ? ?； B 在 A 上的投影 12c o s 6 7 3 . 2 11078ABB ?? ? ? ?。 解 ： 1 1 1 0x x y y z z x y y z z y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ；a a a a a a a a a a a a 0x x y y z z? ? ? ? ? ? ；a a a a a ax y z y z x z x y? ? ? ? ? ?； ，a a a a a a a a。 2 （ 2） 1 1 1 0 0 0r r r r? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a； 0 0 0r r r r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a a a a。 解 ：? ?22 1 2 1 4x y z x y