【正文】 e e ed l B B Bd x d y d zB ?= 則矢量線所滿足的微分方程為 x y zd x d y d zB B B?? 或?qū)懗? 2 3 3 1 1 2()d x d y d z ka z a y a x a z a y a x??? ? ? ＝ 常 數(shù) 求解上面三個(gè)微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法 kxaayaa zadzaaxaa yadyaazaa xad ?????? 3231 32132 23121 1 )()()( （ 1） kxayaz z dzzaxay y dyyazax x dx ?????? )()()( 211332 （ 2） 由（ 1）（ 2）式可得 )()( 31211 yaaxaakxad ?? )()( 21322 zaaxaakyad ?? （ 3） )()( 32313 xaayaakzad ?? )( 32 xyaxzakxdx ?? )( 13 yzaxyakydy ?? （ 4） )( 21 xzayzakzdz ?? 對(duì)（ 3）（ 4）分別求和 0)()()( 321 ??? zadyadxad 0)( 321 ??? zayaxad 0??? zdzydyxdx 0)( 222 ??? zyxd 所以矢量線方程為 1321 kzayaxa ??? 2222 kzyx ??? 【 習(xí)題 解 】 已知矢量場 2 2 2( ) ( ) ( 2 )xy zA ax z x e by x y e z z c x z x y z e? ? ? ? ? ? ? ? 若 A 是一個(gè)無源場 ，則應(yīng)有 divA =0 即： divA = 0yx zAA AAx y z?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 因?yàn)? 2xA axz x?? 2yA by xy?? 2 2zA z z cxz xyz? ? ? ? 所以有 divA =az+2x+b+2xy+12z+cx2xy =x(2+c)+z(a2)+b+1=0 得 a=2, b= 1, c= 2 【習(xí)題 解】 設(shè)矢徑 r? 的方向與 柱面 垂直 ，并且矢徑 r? 到柱面的距離相等（ r＝ a） 所以， 2s s sr d s rd s a d s a a h?? ? ? ?? ? ?＝ 22 ah?? 【習(xí)題 解】 已知 23xy? ? , 223yzA x y ze x y e?? 而 AAAAr o t ???? ????????? ???? )()( 2222( 6 ) 3 203x y zx y ze e eA x y x y e y e x y zex y zx y z x y? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 23 [ ( 6 ) 3 2 ]x y zA x y x y x y e y e x y ze?? ? ? ? ? ? ? 又yxzyx exexyzeyexe????? 236 ???????????? ???? 2 3 2 2 3 3 2226 3 0 9 18 603x y zx y ze e eA x y x x y e x y e x y zex y z x y?? ? ? ? ? ? 所以 2 2 2( ) 3 [ ( 6 ) 3 2 ]x y zro t A A A x y x y x y e y e x y ze? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + zyx ezyxeyxeyx ??? 233223 6189 ?? = ]49)9[(3 222 zyx exzeyexxyx ??? ??? 【 習(xí)題 解 】 已知 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 )x y zA y x z e x y z e x z y z e? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ?1 1 4 4 ( 2 2 ) 0x y zyy xxzzx y zx y zx y zAA AAAArot A Ax y z y z z x x yA A Ax z x z y ye e ee e ee e e??? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?由于 場 A 的旋度處處等于 0， 所以 矢量場 A 為無旋場。電磁場與電磁波基礎(chǔ)課后習(xí)題解答 （劉嵐著） 第一章習(xí)題解答 【 習(xí)題 解 】 222 2 2222 2 2222 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2c osc osc osc os c os c os1xxx y zyx y zzx y zx y zx y z x y z x y zx y zx y z矢 徑 r 與 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則同 理 ， 矢 徑 r 與 y 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則矢 徑 r 與 z 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則可 得從 而 得 證aabbgga b g=++=++=+++ + = + ++ + + + + +++==++ 【 習(xí)題 解 】 9 2 4 3 3 13 29 ( 2 4 3 ) 5 4( 9 ) ( 2 4 3 ) 2 36 3 35x y z x y z x y zx y z x y z x y zx y z x y zA B e e e e e e e e eA B e e e e e e e e eA B e e e e e eAB? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（ ） （ ）－ （ ）( 9 ) ( 2 4 3 ) 1 9 12 4 331 5 14x y zx y z x y zx y ze e ee e e e e ee e e? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 【 習(xí)題 解 】 已知 , 3 8 ,x y z x y zA e b e c e B e e e? ? ? ? ? ? ? （ 1） 要使 AB? ，則須散度 0AB? 所以從 1 3 8 0A B b c? ? ? ? ?可得： 3 8 1bc?? 即只要滿足 3b+8c=1 就可以使向量 和向量 垂直。 （ 2） 要使 AB，則 須旋度 0AB?? 所以從 1 ( 8 3 ) ( 8 ) ( 3 ) 01 3 8x y zx y ze e eA B b c b c e c e b e? ? ? ? ? ? ? ? ?? 可得 b=3， c=8 【 習(xí)題 解 】 已知 12 9x y zA e e e? ? ?， xyB ae be?? ，因?yàn)?BA? ，所以 應(yīng)有 0AB?? 即 ? ? ? ?1 2 9 1 2 9 0x y z x ye e e a e b e a b? ? ? ? ? ? ? ⑴ 又 因?yàn)? 1B? 。 【 習(xí)題 解 】 令 ln( 2 2 2x y z??)=C, 2 2 2x y z??=ce ， ce =1+4+9=14 因此 C＝ ln14 2 2 2x y z??＝ 14為等值面方程 【習(xí)題 解】 求函數(shù) ? = 233xy? 在點(diǎn) M(2,3)處沿曲線 y= 2 1x? 朝 x 增大一方的方向?qū)?shù) 解 : ( 2 ,3 )| 6 | 3 6M xyx?? ??? 22( 2 , 3 )| 3 3 | 1 5M xyy?? ? ? ? ?? 在 L 取一點(diǎn) (x,y) y= 2x 1( 2x? ) 沿 L 的方向的方向余弦為 : 2x? c222os ( 2 ) ( 3 )xxl xy? ????? ? ? ?2 145xx? ?? 223c o s ( 2 ) ( 3 )yyl xy? ????? ? ? ?2 245xxx?? ?? 因?yàn)?0l?? 則 (x,y) ? (2,3) 所以 1cos17?? 4cos17?? 又因?yàn)?coslx ??? ????? cosy ???? ?= 2417? 【習(xí)題 解 2】 求函數(shù) ? = 223xy? 在點(diǎn) M(2,3)處沿曲線 y= 2 1x? 朝 x 增大一方的方向?qū)?shù) 曲線 y 在 M 點(diǎn)沿所取方向的切線斜率為： 4239。 【習(xí)題 解】 ( 2 3 ) ( 4 2) ( 6 6)x y zx y zgrad e e ex y zx y e y x e z e? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ( 0 , 0 , 0 ) 3 2 6x y zgra d e e e? ? ? ? ( 1 ,1 ,1 ) 63xyg ra d e e? ?? 【習(xí)題 解】 ( 1 )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( 2) : ( )()x y zx y zx y zx y zu u ugra du e e ex y zv v vgra dv e e ex y zu v u v u vgra du gra dv e e ex y zgra d u vv v vgra d v e e ex y zvvxx? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???????證 ：證2( ) ( )( 3 ) ( ) 2 2 22.x y zx y zvve v e v ey y z zv gra d gra dvu u ugra d u u e u e u ex y zu gra du??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ??證 ： 【習(xí)題 解】 （ 1） 證明 ?? （ A? +B? ） = （ xeX???+yey???+ )zez??? )( eBeBeBeAeAeA zzyyxxzzyyXx ?????? ?????? = )()()( BABABAZzyyxx zyx ??????????? =（ )zyx AAA zyX ????????+（ )zyx BBB zyx ???????? = BA ?? ????? 得證 (2) )()()( AzyxA eee zyX ?? ??? ?? ???????????? = ( ) ( ) ( )X y zA A Ax y ze e e? ? ?? ? ???? ? ? = ?????? )( xAxAex ????? )( yAyAey ????? ????? + )( zAzAez ????? ?? ??? = ( ) ( )Xyx zx y z yzAA Ae e e Ax y z x y ze e e? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ?? ????? AA ?? 得證 【習(xí)題 解】 nnnnnnnrnzyxzyxzyxnzyxzyxzzzyxyyzyxxxrrzyxzyxzyxzyxrxxrzzryyrxxzyxzyxzzyxzyxzzrzzzyxzyxyzyxzyxyyryyzyxzyxxzyxzyxxxrxxrzzryyrxxrr)3()()()()(3)()()()()2(0))((3)(3)(1)()(3)()()()(3)()()()(3)(