【正文】 五單元 │ 使用建議 2 ． 教學(xué)指導(dǎo) 不等式是知識和應(yīng)用的結(jié)合體，在復(fù)習(xí)中既要照顧到其基礎(chǔ)性、也要照顧到其應(yīng)用性，具體說在教學(xué)中要注意如下幾點： ( 1 ) 在各講的復(fù)習(xí)中首先要注意基礎(chǔ)性，這是第一位的復(fù)習(xí)目標 ． 由于各講的選題偏重基礎(chǔ)，大多數(shù)例題、變式學(xué)生都可以獨立完成，在基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)的探究點上要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考完成這些探究點，教師給予適度的指導(dǎo)和 點評 ． ( 2 ) 要重視實際應(yīng)用問題的分析過程、建模過程 ． 應(yīng)用問題的難點是數(shù)學(xué)建模，本單元涉及了較多的應(yīng)用題，在這些探 究點上教師的主要任務(wù)就是 指導(dǎo)學(xué)生如何通過設(shè)置數(shù)量、變量把實際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，重視解題的過程 ． 第五單元 │ 使用建議 (3) 不等式在高考數(shù)學(xué)各個部分的應(yīng)用，要循序漸進地解決，在本單元中涉及不等式的綜合運用時，我們的選題都很基礎(chǔ)，在這樣的探究點上不要試圖一步到位，不等式的綜合運用是整個一輪復(fù)習(xí)的系統(tǒng)任務(wù)，在本單元只涉及基本的應(yīng)用，不要拔高． 3 ．課時安排 本單元共 4 講，每課時 1 講， 1 個單元能力訓(xùn)練卷， 1 個課時，建議 5 課時完成復(fù)習(xí)任務(wù)． 第 29講 │ 不等關(guān)系與不等式 第 29講 不等關(guān)系與不等式 知識梳理 第 29講 │ 知識梳理 1 ．兩個實數(shù)大小的比較原理 (1) 差值比較原理：設(shè) a 、 b ∈ R ，則 a ＞ b ? a － b ＞ 0 ， a ＝ b ? a － b ＝ 0 ， a ＜ b ? ________ . (2) 商值比較原理：設(shè) a 、 b ∈ R ＋ ，則ab＞ 1 ? a ＞ b ，ab＝ 1 ? a ＝ b ，ab＜ 1 ? ______. a－ b＜ 0 a＜ b 第 29講 │ 知識梳理 2 ．不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 ： a ＞ b ? ______( 對稱性 ) ． 性質(zhì) 2 ： a ＞ b ， b ＞ c ? ______ ( 傳遞性 ) ． 性質(zhì) 3 ： a ＞ b ? ________________. 性質(zhì) 4 ： a ＞ b ， c ＞ 0 ? ________ ； a ＞ b ， c ＜ 0 ? __ ______. 以上是不等式的基本性質(zhì)，以下是不等式的運算性質(zhì)． 性質(zhì) 5 ： a ＞ b ， c ＞ d ? ____________ ( 加法法則 ) ． 性質(zhì) 6 ： a ＞ b ＞ 0 ， c ＞ d ＞ 0 ? ________( 乘法法則 ) ． 性質(zhì) 7 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N*? __________ ( 乘方法則 ) ． 性質(zhì) 8 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N*? ____________ ( 開方法則 ) ． 性質(zhì) 9 ： ab ＞ 0 ， a ＞ b ? ________________( 倒數(shù)法則 ) ． b＜ a a＞ c a ＋ c＞ b ＋ c ac＞ bc ac＜ bc a ＋ c ＞ b ＋ d ac＞ bd an＞ bn n a＞ n b 1a＜1b 要點探究 ? 探究點 1 不等關(guān)系 第 29講 │ 要點探究 例 1 用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板 ． 隨著鐵釘?shù)纳钊?， 鐵釘所受的阻力會越來越大 ， 使得每次釘入木板的釘子長度是后一次為前一次的1k( k ∈ N*) ． 已知一個鐵釘受擊 3 次后全部進入木板 ， 且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的47， 請從這個實例中提煉出一個不等式組是 ________ ． 第 29講 │ 要點探究 ????? 47＋47 k1 ，47＋47 k＋47 k2 ≥ 1[ 解析 ] 敲擊 2 次進入木板的部分為 47＋471k1 ；敲擊 3 次全部進入木板，則47＋47 k＋47 k2 ≥ 1 ， ∴ 不等式組為????? 47＋47 k1 ，47＋47 k＋47 k2 ≥ 1. ? 探究點 2 比較大小 第 29講 │ 要點探究 例 2 (1) 若 x y 0 ， 則 ( x2＋ y2)( x － y ) ________ __ ( x2－ y2)( x＋ y ) ( 填 “” “” 或 “ ＝ ” ) ； (2) 已知 a ， b ， c ∈ R ＋ ，且 a2＋ b2＝ c2，當 n ∈ N ， n 2 時，cn_____ an＋ bn( 填 “” “” 或 “ ＝ ” ) ． 第 29講 │ 要點探究 (1) ＞ (2) ＞ [ 解答 ] (1) 解法一： ( x2＋ y2)( x － y ) － ( x2－ y2)( x ＋ y ) ＝ ( x － y )[ x2＋ y2－ ( x ＋ y )2] ＝－ 2 xy ( x － y ) ， ∵ x y 0 ， ∴ xy 0 ， x － y 0 ， ∴ － 2 xy ( x － y )0 ， ∴ ( x2＋ y2)( x － y )( x2－ y2)( x ＋ y ) ． 解法二： ∵ x y 0 ， ∴ x － y 0 ， x2 y2， x ＋ y 0 ， xy 0. ∴ ( x2＋ y2)( x － y )0 ， ( x2－ y2)( x ＋ y )0 ， ∴ 0( x2＋ y2) ( x － y )( x2－ y2) ( x ＋ y )＝x2＋ y2x2＋ y2＋ 2 xy1 ， ∴ ( x2＋ y2)( x － y )( x2－ y2)( x ＋ y ) ． 第 29講 │ 要點探究 ( 2) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ an， bn， cn0 ， 而an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcn. ∵ a2＋ b2＝ c2，則??????ac2＋??????bc2＝ 1 ， ∴ 0ac 1,0bc 1. ∵ n ∈ N ， n 2 ， ∴??????acn??????ac2，??????bcn??????bc2， ∴an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcna2＋ b2c2 ＝ 1 ， ∴ an＋ bn cn. 第 29講 │ 要點探究 設(shè) a ∈ R ，且 a ≠0 ，試比較 a 與 1a 的大小． [ 解答 ] 由 a －1a＝( a － 1 ) ( a ＋ 1 )a. 當 a ＝ 177。1 時， a ＝1a； 當－ 1 a 0 或 a 1 時， a 1a； 當 a － 1 或 0 a 1 時， a 1a. ? 探究點 3 不等式的性質(zhì) 第 29講 │ 要點探究 例 3 (1) “ a b 且 c d ” 是 “ a ＋ c b ＋ d ” 的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．充分必要條件 C ．必要不充分條件 D ．既不充分也不必要條件 (2) 已知三個不等式： ① ab 0 ， ②cadb， ③ bc ad ，以其中兩個作條件余下一個作結(jié)論，則可以組成的正確命題的個數(shù)是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 0 第 29講 │ 要點探究 (1) A (2) C [ 解析 ] (1) 根據(jù)不等式的性質(zhì) “ a b 且 c d ” ? “ a ＋ c b ＋ d ” ，故條件是充分的；當反之不成立，如 a ＝ 10 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 ， d ＝ 7 ，顯然有 a ＋ c b ＋ d ，但此時 c d . (2) 由不等式性質(zhì)得 ?????ab 0cadb? ?????ab 0bc － adab0? bc ad ； ?????ab 0bc ad?cadb； ?????cadbbc ad? ?????bc － adab0bc － ad 0? ab 0. 第 29講 │ 要點探究 [ 2 0 1 0 廣州模擬 ] 不等式 x2－ 3 x ＋ 20 的解集為( ) A ． ( － ∞ ，－ 2) ∪ ( － 1 ，＋ ∞) B ． ( － 2 ，－ 1) C ． ( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞) D ． (1,2) (2)[ 2022湖南卷 ] 若關(guān)于 x 的不等式－12x2＋ 2 x mx 的解集是 { x | 0 x 2} ，則實數(shù) m 的值是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 第 30講 │ 要點探究 A [ 解析 ] 因為－12x2＋ 2 x mx 的解集是 { x | 0 x 2} ，即 －12x2＋ (2 － m ) x 0 的解集為 (0,2) ，則關(guān)于 x 的方程－12x2＋ (2 － m ) x ＝ 0 的兩根為 x ＝ 0 或 x ＝ 2 ，當 x ＝ 0 時，－12x2＋ (2 －m ) x ＝ 0 ，等式恒成立；當 x ＝ 2 時，解得 m ＝ 1. 故選 A. ? 探究點 2 一元二次不等式恒成立問題 第 30講 │ 要點探究 例 2 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ mx2－ mx － 1. (1) 若對一切實數(shù) x ， f ( x )0 恒成立，求 m 的取值范圍； (2) 若對于 m ∈ [ － 2,2] ， f ( x ) － m ＋ 5 恒成立，求 x 的取值范圍． 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] (1) 要求 mx2－ mx － 10 恒成立． 當 m ＝ 0 時， f ( x ) ＝－ 1 0 ，顯然成立； 當 m ≠0 時，應(yīng)有 m 0 ， Δ ＝ m2＋ 4 m 0 ， 解得－ 4 m 0. 綜上， m 的取值范圍是－ 4 m ≤0. 第 30講 │ 要點探究 ( 2) 將 f ( x ) － m ＋ 5 變換成關(guān)于 m 的不等式 m ( x2－ x ＋ 1) － 6 0 ， 則命題等價于 m ∈??????－ 2 ， 2 時， g??????m ＝ m??????x2－ x ＋ 1 － 6 0 恒成立． ∵ x2－ x ＋ 1 0 ， ∴ g ( m ) 在 [ － 2,2] 上單調(diào)遞增， ∴ 只要 g ( 2) ＝ 2( x2－ x ＋ 1) － 6 0 ， 即 x2－ x － 2 0 ， ∴ － 1 x 2. 第 30講 │ 要點探究 當 x ∈ ( 1, 2) 時，不等式 x 2 ＋ mx ＋ 4 0 恒成立，則 m的取值范圍是 ________ ． [ 思路 ] 可借助于二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合討論相應(yīng)二次函數(shù)的圖象在相應(yīng)區(qū)間上在 x 軸下方；也可以進行分離變量，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的最值問題． 第 30講 │ 要點探究 m ≤ － 5 [ 解析 ] 解法一：設(shè) f ( x ) ＝ x2＋ mx ＋ 4 ，則由二次函數(shù)的圖象及一元二次方程 x2＋ mx ＋ 4 ＝ 0 的根的分布知， ????? f （ 1 ） ≤0 ，f （ 2 ） ≤0 ，即????? m ＋