【正文】 變量 和 之間已成線性關(guān)系。當(dāng)上 極限值 k 給定時(shí)，作如下變換， tubtateyk ???? 1 移項(xiàng)，tubtateyk ???? 1， 取自然對(duì)數(shù)，ttubtaykLn ???????????? 1 令?????????? 1*ttykLny，則 yt* = a – b t + ut 此時(shí)可用最小二乘法估計(jì) a 和 b 。 tt ubtautft ekeky??? ???? 11 )(, 0 ttttLim y k Lim y? ? ? ? ? ???ty生長曲線模型的線性化 為能運(yùn)用最小二乘法估計(jì)參數(shù) a , b ，必須事先估計(jì)出生曲線長上 極限值 k 。 a, b 為待估參數(shù)。生長模型（或邏輯斯諦曲線， PearlReed曲線）常用于描述有機(jī)體生長發(fā)育過程。比如雙對(duì)數(shù)模型的系數(shù)就是彈性。雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式， 令 ，得 上式已變換成線性回歸模型。 ? （ 1）多項(xiàng)式函數(shù)模型 ? （ 2）雙曲線函數(shù)模型 ? （ 3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型 ? （ 4）生長曲線 (logistic) 模型 ? （ 5）指數(shù)函數(shù)模型 ? （ 6）冪函數(shù)模型 （ 1）多項(xiàng)式函數(shù)模型 比如下面的多項(xiàng)式方程 可令 ，上式變?yōu)? 這是一個(gè)三元線性回歸模型。 ? 對(duì)于不可線性化的非線性模型， 可采用非線性方法進(jìn)行估計(jì)。 非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 有些非線性回歸模型，其形式是非線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。將（ ）代入模型（ ）可以導(dǎo)出一個(gè)具有異方差性的多元線性模型，可以采用加權(quán)最小二乘法等方法來進(jìn)行估計(jì)。 ? 一般的隨機(jī)變參數(shù)模型 此時(shí)假定參數(shù)滿足： （ ） 為確定性變量。 一般應(yīng)用軟件中，只需選擇 Chow檢驗(yàn)，并輸入相應(yīng)的 ，其它則自動(dòng)完成。相關(guān)內(nèi)容在 167。 構(gòu)造關(guān)于 的對(duì)數(shù)似然函數(shù) 遍取 作為 的可能值，代入似然函數(shù)，選擇使對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大的 作為突變點(diǎn)的估計(jì)值。 0n0n12( ) ( )ttV a r V a r???0n（ 3） 未知，但 此時(shí)，將 看作待估參數(shù)。參見例 0 0 1 ,t t tyx? ? ?? ? ?0n0 1 0 1 2( ) ( ) ,t t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?01, 2 , ,tn?0 1 , ,t n n??0n0?? 0?? 1?? 1??0 1 0 1 ,t t t t t ty D x D x? ? ? ? ?? ? ? ? ?001 , 01ttt n Dn t n D? ? ???? ? ??當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí) ，tD（ 2） 未知，但 當(dāng)突變點(diǎn) 未知時(shí)，一般可以選擇不同的 ，按照（ 1）中的方法進(jìn)行分段試估計(jì)，然后從多次試估計(jì)中選擇最優(yōu)者。將方程（ ）改寫為 （ ） 分別估計(jì)這兩個(gè)方程，得到參數(shù)估計(jì)量 ， ， ， 。這類變參數(shù)模型的估計(jì)可分為 3種不同情況進(jìn)行討論。 t t t t tyx? ? ?? ? ?t? t?0101ttttpp? ? ?? ? ?????0? 0? 1? 1? tpt t tyx? ? ?? ? ?t?t? tp 模型估計(jì) 將（ ）代入（ ）得到 （ ) 因?yàn)榇_定性變量 與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)，可以使用 OLS方法估計(jì)（ ）式，得到參數(shù)估計(jì)量 ， ， ， 。若將參數(shù)作為變量，就得到變參數(shù)模型 ? 下面僅介紹幾類較簡單的變參數(shù)模型 一、確定性變參數(shù)模型 ? 模型中參數(shù)是確定性變量而非隨機(jī)變量，則模型稱為確定性變參數(shù)模型 ? 若模型中參數(shù)是隨機(jī)變量而非確定性變量，則模型稱為隨機(jī)變參數(shù)模型 ? 確定性變參數(shù)模型可以有以下幾種類型 以一元線性模型為例常參數(shù)模型為 （ ） 確定性變參數(shù)模型為： （ ） 其中 和 為確定性變量。 固定影響平行數(shù)據(jù)模型 167。 簡單的非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 167。第八章 擴(kuò)展的單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 167。 變參數(shù)線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 167。 二元離散選擇模型 ? 167。 ? 經(jīng)典計(jì)量模型中，通常假定參數(shù)為常數(shù)，即產(chǎn)生樣本觀測(cè)值的總體經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不變，解釋變量對(duì)被解釋變量的影響保持不變，稱之為常參數(shù)模型 ? 實(shí)際上，變參數(shù)的情況是經(jīng)常發(fā)生的。如果有 （ ） 其中 ， ， ， 是常數(shù)， 為確定性變量，則變參數(shù) ， 隨著確定性變量 而變化。可以通過檢驗(yàn) 與 的顯著性來檢驗(yàn)變量 是否對(duì) ， 有影響 0 1 0 1t t t t t ty p x p x? ? ? ? ?? ? ? ? ?tp0?? 0?? 1?? 1??1?? 1?? tp ? ?（結(jié)構(gòu)突變） 如果有 （ ） 則模型的參數(shù)在 處發(fā)生了結(jié)構(gòu)突變。 0101ttttpp? ? ?? ? ?????001 , 01ttt n pn t n p? ? ???? ? ??當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí) ，0n（ 1） 已知 如果突變點(diǎn) 已知，則可以分段建立模型進(jìn)行分段估計(jì)。 也可以建立一個(gè)統(tǒng)一的模型：