對數(shù)函數(shù)概念和性質(zhì)-展示頁
2024-10-11 09:04本頁面
【正文】 l og 5 － x (2 x － 2) ． 解： ( 1) 要使函數(shù)有意義，須滿足： l og 2 (4 x － 3) ≥ 0 ＝ l og 2 1 ， ? 1 ≤ 4 x － 3 ? x ≥ 1 ， ∴ 函數(shù)的定義 域?yàn)?[1 ，＋ ∞ ) ． ( 2) 要使函數(shù)有意義，須滿足： ????? 2 x － 2 05 － x 05 － x ≠ 1? 1 x 5 且 x ≠ 4. ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?(1 ， 4) ∪ (4 ， 5 ) . 自主預(yù)習(xí) 復(fù)合函數(shù) y ＝ f [ g ( x )] 是由 y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 復(fù)合而成，若 f ( x )與 g ( x ) 的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù) f [ g ( x )] 為 ；若 f ( x )與 g ( x ) 的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù) f [ g ( x )] 為 ． 增函數(shù) 減函數(shù) 對于函數(shù)型復(fù)合函數(shù) y ＝ logaf ( x ) 來說，函數(shù) y ＝ logaf ( x ) 可看成是 y ＝ logau 與 u ＝ f ( x ) 兩個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 “ 同增異減 ” 的規(guī)律即可判斷．另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域 ． 對于形如 y ＝ logaf ( x )( a 0 ，且 a ≠ 1) 的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下： ( 1) 分解成 y ＝ lo gau ， u ＝ f ( x ) 兩個(gè)函數(shù)； ( 2) 求 f ( x ) 的定義域； ( 3) 求 u 的取值范圍； ( 4) 利用 y ＝ lo gau 的單調(diào)性求解 ． 學(xué)法指導(dǎo)： 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是： ( 1) 求定義域； ( 2) 拆分函數(shù)； ( 3) 分別求 y ＝ f ( u ) ， u ＝ φ ( x ) 的單調(diào)性； ( 4)按 “ 同增異減 ” 得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性． [ 例 1] 討論函數(shù) f ( x ) ＝ loga(3 x2－ 2 x － 1) 的單調(diào)性． 對數(shù)型復(fù)合 函數(shù)的單調(diào)性 1 [ 解析 ] 由 3 x2－ 2 x － 1 0 ，得函數(shù)的定義域?yàn)?{ x | x 1 或 x －13} ． 當(dāng) a 1 時(shí)， 若 x 1 ， ∵ u ＝ 3 x2－ 2 x － 1 為增函數(shù)， ∴ f ( x ) ＝ loga(3 x2－ 2 x － 1) 為增函數(shù)． 若 x －13， ∵ u ＝ 3 x2－ 2 x － 1 為減函數(shù)， ∴ f ( x ) ＝ loga(3 x2－ 2 x － 1) 為減函數(shù)． 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， 若 x 1 ，則 f ( x ) ＝ lo ga(3 x2－ 2 x － 1) 為減函數(shù)， 若 x －13，則 f ( x ) ＝ loga(3 x2－ 2 x － 1) 為增函數(shù)． 求函數(shù) y ＝ log0 . 1(2 x2－ 5 x － 3) 的單調(diào)減區(qū)間． [ 解析 ] 依題意，得 2 x2－ 5 x － 3 0. 解得 x －12或 x 3. 令 u＝ 2 x2－ 5 x － 3 ，函數(shù) u 的遞減區(qū)間為 ( － ∞ ，－12) ，遞增區(qū)間為 (3 ，＋ ∞ ) ，則 y ＝ lo g 0 . 1 (2 x2－ 5 x － 3) 的遞減區(qū)間為 (3 ，＋ ∞ ). 學(xué)法指導(dǎo)： 求復(fù)合函數(shù) y ＝ f [ g ( x )] 值域的方法設(shè) y ＝ f ( t ) ，t ＝ g ( x ) ，先求 t ＝ g ( x ) 的值域再求 y ＝ f ( x ) 的值域． [ 例 2] 求下列函數(shù)的值域： ( 1) y ＝ lo g2( x2＋ 4) ； ( 2) y ＝ lo g 12 (3 ＋ 2 x － x2) ． 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域 2 [ 解析 ] ( 1) y ＝ log2( x2＋ 4) 的定義域?yàn)?R . ∵ x2＋ 4 ≥ 4 ， ∴ log2( x2＋ 4) ≥ log24 ＝ 2. ∴ y ＝ log2( x2＋ 4) 的值域?yàn)?{ y | y ≥ 2} ． ( 2) 設(shè) u ＝ 3 ＋ 2 x － x2， 則 u ＝－ ( x － 1)2＋ 4 ≤ 4. ∵ u 0 ， ∴ 0 u ≤ 4. 又 y ＝ log 12 u 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是
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