對數(shù)函數(shù)概念和性質(zhì)-文庫吧資料
2024-10-07 09:04本頁面
【正文】 ＝ log2y. 一般地，函數(shù) y＝ 叫做對數(shù)函數(shù)，它的定義域是 ． logax (a0， a≠1) (0，＋ ∞) 考察函數(shù) y ＝ l og 2 x 和 y ＝ l og 12x 的圖象． 問題 1 ：試作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象． 提示： 問題 2：它的圖象與 y軸有交點(diǎn)嗎？為什么？ 提示： 沒有交點(diǎn)．因?yàn)?x0. 問題 3：它的圖象與 x軸有公共點(diǎn)嗎？ y＝ logax過這一點(diǎn)嗎？ 提示： 有公共點(diǎn) (1， 0)，過． 問題 4：這兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？ 提示： 關(guān)于 x軸對稱． 問題 5：它們的增減性怎樣？ 提示： y＝ log2x在 (0，＋ ∞)上單調(diào)遞增． y ＝ log 12 x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞減． a＞ 1 0＜ a＜ 1 圖象 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 性質(zhì) 定義域： 值域： 過點(diǎn) ，即當(dāng) x＝ 1時(shí)， y＝ 0 在 (0，＋ ∞ )上是單調(diào) 在 (0，＋ ∞ )上是單調(diào) (0，＋ ∞ ) (－ ∞，＋ ∞) (1， 0) 增函數(shù) 減函數(shù) 問題 1：作出函數(shù) y＝ 2x與 y＝ log2x的圖象． 提示： 問題 2：它們的圖象有什么關(guān)系？ 提示： 關(guān)于直線 y＝ x對稱． 指數(shù)函數(shù) y＝ ax與對數(shù)函數(shù) y＝ logax互為 ，其圖象關(guān)于直線 對稱，一般地，如果函數(shù) y＝ f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作 ． 反函數(shù) y＝ x y＝ f－ 1(x) 1．對數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式概念，只有形如 y＝logax(a0， a≠1)的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)．如函數(shù) y＝ log2x＋1， y＝ log2(x＋ 1)， y＝ 2log2x等都不是對數(shù)函數(shù)． 2．由指數(shù)函數(shù) y＝ ax(a0且 a≠1)與對數(shù)函數(shù) y＝ logax(a0且 a≠1)的關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)關(guān)系： 由此可知：對數(shù)函數(shù)中的自變量 x的范圍等同于指數(shù)函數(shù)中的函數(shù)值范圍；對數(shù)函數(shù)中的函數(shù)值的范圍等同于指數(shù)函數(shù)中的自變量的范圍． 3．不論 a(a0且 a≠1)取何值，函數(shù) f(x)＝ logax必過定點(diǎn) (1， 0)，這是因?yàn)?“不論底數(shù)為何值， 1的對數(shù)等于0”．因此涉及與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定點(diǎn)問題，均可利用此性質(zhì)求解． [ 例 1] 求下列函數(shù)的定義域． ( 1) f ( x ) ＝ l og ( x － 1) ( x ＋ 2) ； ( 2) f ( x ) ＝ l og (1 － 2 x ) (3 x ＋ 2) ； ( 3) f ( x ) ＝1l og 2 （ x － 1 ）. [思路點(diǎn)撥 ] 根據(jù)對數(shù)式中底數(shù)、真數(shù)的范圍列不等式 (組 )求解． [ 精解詳析 ] ( 1 ) 由????? x － 1 0 ，x － 1 ≠ 1 ，x ＋ 2 0得????? x 1 ，x ≠ 2 ，x － 2 ， ∴?????x 1 ，x ≠ 2. 故函數(shù)的定義域是 { x | x 1 且 x ≠ 2} ． ( 2) 由????? 1 － 2 x 0 ，1 － 2 x ≠ 1 ，3 x ＋ 2 0得???????x 12，x ≠ 0 ，x －23，∴?????－23 x 12，x ≠ 0. 故函數(shù)的定義域是??????x |－23 x 12且 x ≠ 0 . ( 3) 由 log2( x － 1) ≠ 0 知 x － 1 ≠ 1 ， ∴ x ≠ 2. 又 x － 1 0 ， ∴ x 1. 故函數(shù)的定義域是 { x | x 1 且 x ≠ 2} ． [一點(diǎn)通 ] 求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)的解析式有意義時(shí)自變量的取值范圍．常用的方法有： ① 分母不等于零； ② 根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；③對數(shù)的真數(shù)大于零，對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于 1. 2 ． 求下列函數(shù)的定義域： ( 1) y ＝ l og 2 （ 4 x － 3 ） ； ( 2) y ＝
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