【正文】 由 A 的特征多項式 EA? ? =1 1 3 21 1 2 33 2 1 12 3 1 1??????????????????= ( 3 ) ( 7 ) ( 1 ) ( 1 )? ? ? ?? ? ? ? 得 A 的特征值為 1? =3， 2? =7， 3? =1， 4? =1． （ 2）將 1? =3 代入 1( ) 0E A X? ??中，得到 方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 24 3 2 04 2 3 03 2 4 02 3 4 0x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 解此方程 組 可得出基礎(chǔ)解系 1? = (1, 1, 1,1)T?? ，同樣地，分別把 2? =7， 3? =1， 4? =1 代 入 ( ) 0E A X? ??中， 求解方程組得 與 2? =7， 3? =1， 4? =1 對應(yīng)的基礎(chǔ)解系依次為 2? =( 1,1, 1,1)T?? ， 3? =( 1, 1,1,1)T?? ， 4? = 2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4d x d x d x d x? ? ?． （ 3）將 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 正交化： 1? = 1? =(1, 1, 1,1)T?? 2? = 2? ? 21111( , )( , )?????=(1, 1, 1,1)T?? 3? = 3? ? 3 1 3 2121 1 2 2( , ) ( , )( , ) ( , )? ? ? ???? ? ? ?? =(1,1,1,1)T 4? = 4? ? 434 1 4 21 2 31 1 2 2 3 3( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???=(1,1,1,1)T 將正交向量組 1 2 3 4, , ,? ? ? ? ， 單位化得單位正交向量組： 1 1= (1, 1, 1,1)2 T? ? ? ， 2 1 ( 1,1, 1,1)2 T? ? ? ? ， 3 1 ( 1, 1,1,1)2 T? ? ? ? ， 4 1 (1,1,1,1)2 T? ? （ 4）令 C =121 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1?????????????? ，于是正交線性替換1234xxxx????????????=121 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1??????????????1234yyyy????????????將二次型化為標準形 f = 2 2 2 21 2 3 173 y y yy ? ? ?? ． （二） 配方法 使用配方法化二次型為標準形時，最重要的是要消去像 ()ijxx i j? 這樣的 交叉項， 其方法是利用兩數(shù)的平方和公式及平方差公式逐個消去非平方項，并構(gòu)造新的平方項 ． 定理 92【 】 數(shù)域 P 上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和 2 2 21 1 2 2 ... nnd x d x d x? ? ?的形式 ． 用 配方法 化二次型 為標準形的關(guān)鍵是構(gòu)造平 方項 ， 其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉項，同時構(gòu)造新的平方項．具體解題思路可分兩種情形來處理： (1) 若二次型中含有某變量 ix 的平方項和交叉項 ， 則可先將含 ix 的交叉項合并 在一起，使之與 2ix 配方成為完全平方項 ， 然后類似地對剩下的 1n? 個變量進行配方，直到各項全部化為平方項為止； (2) 若二次型中 沒有平方項，則可先利用平方差公式將二次型化為含有平方項的二次型，例如，當二次型中出現(xiàn)交叉項 ijxx 時，先作可逆線性替換 i i jx y y??，j i jx y y??， kkxy? （ ,k i j? ），使之成為含有 2iy , 2jy 的二次型，然后按照情形（ 1）的方法進行配方． 例 ２ 用配方法化二次型 23( , , )f x x x ? 221 1 2 2 2 32 2 4x x x x x x? ? ?為標準形， 并寫出 所用的 線性替換 矩陣 ． 解：原二次型中含有 1x 的平方項，先將含有 1x 的項集中，利用平方和公式消去 12xx ， 然后對 23,xx配平方，消去 23xx 項 .此過程為 23( , , )f x x x ? 221 1 2 2( 2 )x x x x??? 222 2 3 3( 4 4 )x x x x??? 234x ? ? ? ?22 21 2 2 3 324x x x x x? ? ? ? ? 于是作非退化線性替換 1 1 22 1 233+2y x xy x xyx??????? ??，由此得 1 1 2 32 2 33322x y y yx y yxy? ? ?????????， 即 123xxx??????????? 1 1 20 1 20 0 1????????123yyy??????????， 于是二次型化為標準形 23( , , )f x x x ? 2 2 21 2 34y y y?? ， 所用的線性替換矩陣為 C ? 1 1 20 1 20 0 1????????． 例 3 將二次型 23( , , )f x x x = 1 2 1 3 2 34 2 2x x x x x x? ? ?化為標準形，并寫出所用的線性替換 矩陣 ． 解：由于所給的二次型中 無平方項 ， 故需要構(gòu)造出平方項 ，令 1 1 22 1 233x y yx y yxy?????????? 即 123xxx??????????? 1 1 01 1 00 0 1???????123yyy?????????? 代入原二次型得 23( , , )f x x x ? 1 2 1 2 1 2 3 1 2 34( ) ( ) 2( ) 2( )y y y y y y y y y y? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 3444y y y y? ? ? ? 此時就可以按照 情形（ 1） 中的步驟進行，將含有 1y 的項集中， 消去 13yy ， 再分別對 23,yy配平方即可 ． 所以有 23( , , )f x x x ? 221 2 1 3444y y y y? ? ? 2 2 2 21 1 3 3 3 24 4 4y y y y y y? ? ? ? ? ? ? ?2 221 3 3 224y y y y? ? ? ? ? 作非退化線性替換 1 1 322332z y yzyzy?????????，或?qū)懗? 1 222331122y z zyzyz? ???? ??? ???， 即 123yyy???????????110220 1 00 0 1??????????123zzz?????????? 于是二次型化為標準形 23( , , )f x x x ? 2 2 21 2 34z z z? ? ? ，所用的線性替換矩陣為 C ? 1 1 01 1 00 0 1???????110220 1 00 0 1???????????11122111220 0 1????????????? 從以上配方法的過程可以看出，將一般二次型通過配方法化成標準形，實際上就是通過一系列的 非退化線性替換 將 n 個元逐漸配方的過程， 這個過程用矩陣的形式表示出來就是將二次型化為標準形的第三種方法 初等變換法 ． 這種方法的實質(zhì)就是將二次型矩陣通過一系列的合同變換（即進行矩陣的初等行、列變換）， 逐 步地化成與它合同且在形式上又比較簡單的矩陣，最后 得到 對角矩陣的過程 ． 定理 [7]3 在數(shù)域 ? 上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣 ． 即對于任意一個對稱矩陣 A ，都可以找到一個可逆矩陣 C 使 TCAC 成對角形 ．