計算二重積分的幾種方法數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-所有專業(yè)-展示頁
2025-01-31 02:28本頁面
【正文】 圍成的矩形域 . ? ?? ? ? ?? ?43224222, 11 ., 2,1xy x y x uuvu v y x y vyyxy xxyxx? ??? ? ? ? ????? ????? 由定理 3 可知 , ? ?? ?439。, , , , ,RRf x y d x d y f x u v y u v J u v d u d v? ?????? ??. 例 4 計算兩條拋物線 2y mx? 與 2y nx? 和兩條直線 yx?? 與 yx?? 所圍成 R 區(qū)域的面積? ?0 , 0R m n ??? ? ? ?， 如圖（ 4）所示 . 解 已知區(qū)域 R 的面積RR dxdy???. 6 設 2 ,.yyuvxx??這個函數(shù)將 xy 平面上的區(qū)域 R 變換為 uv 平面上的區(qū)域 39。 .nnk k k k k k k k k kkkf f x y J? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??????? (4) 因為函數(shù)組（ 2）在有界閉區(qū)域 R 上存在反函數(shù)組 ? ? ? ?, , ,u u x y v v x y??，并且此函數(shù)組在 R一致連續(xù)，所以當 0T ? 時，也有 39。 .,k k kxy J u vuv? ? ??? ? ? ? ?? ? ?,k k kR????，在 39。ku v R??，有 ? ?? ? ? ?, 39。, , 39。nR R R??? .設其面積分別是1239。, 39。T ,它將 39。, , , , ,RRf x y d x d y f x u v y u v J u v d u d v? ?????? ?? （ 3） 證明 用任意分法 T將區(qū)域 R 分成 n個小區(qū)域： 12, , , nR R R??? .設其面積分別是 12, , , n? ? ?? ? ??? ?.于是，在 39。R 上對 u 與對 v 存在連續(xù)偏導數(shù)，? ?,39。 1 , 2 , , .i k i i k kR x x x y y yi n k m??? ? ? ?? ??? ? ??? 2 設 ? ?? ? ? ?? ? ? ?1su p , , inf , . ,ik ik i i iM f x y m f x y x x? ?? ? ? ?，有 ? ? 1,ik i ik k km f y M y y y? ?? ? ? ?.已 知一元函數(shù) ? ?,ify? 在 ? ?1,kkyy? 可積，有 ? ?11 ,ki k k i i k k k k kkm y f y d y M y y y y? ??? ? ? ? ? ? ??.將此 不 等 式 對 1,2,km? … 相加，有 ? ?11 1 1,kkm m myi k k i i k kyk k km y f y d y M y??? ? ?? ? ? ?? ? ??， 其 中? ? ? ? ? ?11 ,kkm ydi i iyck f y d y f y d y I? ? ??? ??? ??，即 ? ?11mmi k k i i k kkkm y I M y?? ? ? ???.再將此不等式乘以ix? ，然后對 1,2,in? … 相加，有 ? ?1 1 1 1 1n m n n mi k i k i i i k i ki k i i km x y I x M x y?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?.此不等式的左右兩端分別是分法 T 的小和 ()sT 與大和 ()ST ，即 ? ? ? ? ? ?1niiis T I x S T??? ? ??. (1) 已知函數(shù) ? ?,f x y 在 R 可積，根據(jù)定理有 ? ? ? ?00l im l im ( , ) ,TT RS T s T f x y d x d y???? ?? 又不等式（ 1）， 有 ? ? ? ?0 1l im ,niiT i RI x f x y d x d y?? ? ??? ??，即? ? ? ? ? ?, , .b b da a cR f x y d x d y I x d x f x y d y d x???? ?????? ? ? ?類似地，若 ? ?,f x y 在閉 矩形 域? ?,R a x b c y d? ? ? ?可積 ， 且 ? ?,y c d?? 定積分存在，則累次積分 ? ?,dbcaf x y d x d y???????? ， 也存在，且 ? ? ? ?,dbcaR f x y d x d y f x y d x d y??? ?????? ? ?. 也可將累次積分 ? ?,bdac f x y d y d x????????與 ? ?,dbca f x y d x d y????????分別記為 ? ?,bdacdx f x y dy??和? ?,dbcadx f x y dy?? . 定義 1 設函數(shù) ? ? ? ?12,xx??在閉區(qū)間 ? ?,ab 連續(xù)；函數(shù) ? ? ? ?12,yy??在閉區(qū)間 ? ?,cd 連續(xù)，則區(qū)域 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?12, , ,x y x y x x a b??? ? ?和 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?12, , ,x y y x y y c d??? ? ?分別稱為 x型區(qū)域和 y 型區(qū)域 .如下圖（ 1）和（ 2）所示 . 3 定理 2 設有界閉區(qū)域 R 是 x 型區(qū)域，若函數(shù) ? ?,f x y 在 R 可積，且 ? ?,x a b?? ，定積分? ?? ?? ?21 ,xx f x y dy??? 存在，則累次積分 ? ?? ?? ?21 ,bxaxd x f x y d y???? 也存在，且? ? ? ?? ?? ?21,bxaxR f x y d x d y d x f x y d y????? ? ?. 利用極坐標計算二重積分公式： ? ? ? ?, c o s , s inRRf x y d x d y f r r r d r d? ? ??
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