根軌跡繪制的基本規(guī)則-展示頁
2025-05-27 11:36本頁面
【正文】 injj ?????? ????????? ???? 11)(ln)(lndszsddspsdmiinjj ?????? ????????? ???? 11)l n ()l n (??????? miinjjdszsddspsd11)l n()l n(???? ??? mi inj j zsps 111118Jun21 22 [例 44]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )5)(1()( ??? sssKsG gk試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位臵。 kd)21( ??q ??實軸上的會合點和分離點的求法 因閉環(huán)特征方程為： 1)( ??sGk設(shè) 時，特征方程有重根 ，則必同時滿足 d?gdg KK ?18Jun21 18 由此得： ?????????0)()(0)()(dgdddgddNKDNKD????即： 0)()()()( ???? sDsNsDsN實軸上的會合點和分離點的求法 注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應(yīng)的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。 ① 重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。 有時也稱從實軸分離進(jìn)入復(fù)平面的點為分離點；而稱從復(fù)平面進(jìn)入實軸的點為會合點。 實軸上的會合點和分離點 ???1p?2p?z?AB 0?gK0?gK??gK??gK 一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點。 18Jun21 16 根軌跡的會合點和分離點： 若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。 由開環(huán)極點－ p－ p2出發(fā)的兩支根軌跡，隨著 Kg的增大在實軸上 A點相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。 實軸上的會合點和分離點 AB 0?gK0?gK??gK??gK如圖所示某系統(tǒng)的零極點圖 隨著 Kg的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“ ”表示。 18Jun21 14 ?????01?2?5?10?[例 43]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實軸上的根軌跡。 ① 成對出現(xiàn)的共軛極點 p p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為 0176。 ； ④ 試探點右邊的極點 p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為 180176。 實軸上的根軌跡 ?1s1z? ???3p?4p?2p?1p?2z3q4q1q2q② 成對出現(xiàn)的共軛零點 z z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為 0176。 [證明 ]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點 pp2，復(fù)平面上有一對共軛極點 p p4和一對共軛零點 z z2 。 漸近線與實軸的交點： 15 230iipznm?? ??? ? ? ?????漸近線與實軸的傾角： ?? 180,60)12( ?????mnk ?q零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。 )5)(1()( ??? sssKsG gk[解 ]：根軌跡有 3支。漸近線與 實軸的夾角 (稱為 漸近線的傾斜角 ?為 mnktg?? ?)12(( 2 1 ) 0 , 1 , 2k knm?q ??? ? ? ????90?90? 0??2??mn??1800??1??mn?60?60??1800??3??mn??45?45??1800??4??mn?18Jun21 12 [例 42]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。 gmiijnjKzsps????????11)()(由根軌跡方程可得： gmmmnnnmiijnjKbsbsbsasasaszsps?????????????????????0111011111)()(????? ?njjn pa11 ??? ?miim zb11式中 ， 18Jun21 6 根軌跡的漸近線 gmnmnmn Ksbas ????? ????? ?111 )(當(dāng) Kg→∞ ，由于 mn，故 s→∞ 滿足根軌跡方程，上式近似為 gmnmnmn Ksbas ???? ????? 111 )(gmnmn Ksbas ???? ??? )1( 11兩邊開 nm次方 mngmnmn Ksbas ???? ???? 1111 )()1(利用二項式定理 )11(! )1()1(!2 )1(1)1( 2 ?????????????? xxI IKKKxKKKxx IK ???mngmn Ksbamns??? ?????111 )()11(當(dāng) 時， ， 1??x Kxx K ??? 1)1(sbax mn 11 ?? ??mnK ??1令 ， 18Jun21 7 根軌跡的漸近線 mngmn Kmnbas ??? ????? 111 )(設(shè) s=x+jy, 利用－ 1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗 (De Moive)代數(shù)定理 (cosq +jsinq )n= cos(nq )+jsin(nq )，上式可寫為 ?????? ?????????? ???mnkjmnkKmnbajyx mngmn?? )12(s i n)12(c os111mnkKmnbax mngmn ?????? ??? ?)12(c os111mnkKy mng ??? ? ?)12(s i n1mnktgmnbaxymn ?????? ???)12(1118Jun21 8 根軌跡的漸近線 ? ???? ?????????? ?????? ?? xmnktgmn baxmnktgy mn )12()12( 11mnzpmnzpmnbamiinjjmiinjjmn?????????????? ???? ?????? 111111?這是與實軸交點為－ ?， 斜率為 的直線方程。 1)()(11 ????????jnjmiigpszsK由根軌跡方程 得 gjnjmii
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