根軌跡法appt課件-展示頁
2025-05-10 01:27本頁面
【正文】 ?????njjmii pszsKsHsG11)(/)()()(繪制根軌跡的一般規(guī)則 01limlim11 ????????????KpszsKnjjmiiKKpszsnjjmii111 ???????當(dāng) 時 ， 上式為 ??K可見 ， 當(dāng) 時 ， 也能滿足 上式 ， 此時 條根軌跡分支的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 。 s??0:Kn nmn?0)(1????njjps表明根 軌跡的起點(diǎn) 就是 開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 。 n??0:Km mn?n mmn?m 證明 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 0)()(11???? ????miinjj zsKps繪制根軌跡的一般規(guī)則 當(dāng) 時 ， 特征方程根的位置就是根軌跡的起點(diǎn) ， 此時 0?K當(dāng) 變化時 ， 特征方程中的任一根由起點(diǎn)連續(xù)地向其終點(diǎn)變化的軌跡 ， 即為根軌跡的一條分支 。 s繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 3 根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn) 當(dāng) 變化時 ， 根軌跡 共有 條分支 ， 它們分別 從 個開環(huán)極點(diǎn)出發(fā) ， 其中 條根 軌跡分支的終點(diǎn) 為 個開 環(huán)零點(diǎn) ， 條根 軌跡分支的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 。因此 ， 根軌跡必然對稱于實(shí)軸 。 p???? 1 8 021 ??s 1s 11 ???s 21 )( ???? ps1s??? 確定 一對 阻尼比 的共軛 復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn) 由于閉環(huán)極點(diǎn)位于 的直線上 ， 所以 ???? 457 r c c o sa r c c o s ??222,1pjps ???2)(222ppssKpjps ??? ???第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 1 根軌跡的連續(xù)性 當(dāng) 由 0連續(xù)變化到 ∞時 ， 系統(tǒng)的閉環(huán)特征根也一定是連續(xù)變化的 ， 所以 根軌跡也必然是連續(xù)的 。 繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) ? 確定 平面上除 實(shí)軸以外的其它根軌跡 s 在 平面上任取一點(diǎn) ， 令 、 。 因此 ，正實(shí)軸上沒有根軌跡 。 01 ?s ps ??2? 確定實(shí)軸上的根軌跡 首先確定正實(shí)軸上是否有根軌跡 。 Ks繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 用 相角條件畫出圖示系統(tǒng) 變化時的根軌跡 ，并用幅值條件確定使閉環(huán)系統(tǒng)的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的阻尼比 時的 值 。 ?KK5??s ???? 180)3( ss??? ~3 ss 綜上所述 ， 根軌跡就是 平面上滿足相角條件點(diǎn)的集合 。至于該 值所對應(yīng)的 值 ， 根據(jù)幅值條件得 。 對某個 值 ， 對應(yīng)圓周上無窮多個 值都能滿足上式 ， 但只有同時滿足相角 條件的 值 才是特征根 。 反之 ， 滿足幅值條件的點(diǎn)未必都能滿足相角條件 。 KK 相角 條件與幅值條件的不同在于相角條件與 值無關(guān) 。 0)()(1 ?? sHsG 1)()( ??sHsG或 繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 因此 ， 利用相 角條件就可畫出根軌跡 ， 即繪制根軌跡無需考慮幅值條件 。 閉環(huán)傳遞 函數(shù)有以下 兩種表示形式： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsC?????????????11101110)()(??)()(1)()()(sHsGsGsRsC??01110 ????? ?? nnnn asasasa ? （ 1） 閉環(huán)特征方程的幾種表達(dá)形式 需要 指出的是 ， 上述六種表達(dá)方式其實(shí)質(zhì)是一致的 ， 都是根據(jù) 特征方程 而 得到的 。 2/p? 實(shí)際 中 ， 最常用的可變參數(shù)是系統(tǒng)的開環(huán)增益 ，以 為可變參數(shù)而得到的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡 。 sTK 根軌跡 法簡單 、 實(shí)用 ， 是經(jīng)典控制理論的基本分析方法之一 。第四章 根軌跡法 1948年 ， 函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系 ， 提出了一種非常實(shí)用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法 。 當(dāng)系統(tǒng)特征方程式中的某一參數(shù) （ 例如開環(huán)增益 、 時間常數(shù) ） 連續(xù)由零變化到無窮大時 ， 特征方程式的根連續(xù)變化而在 平面上形成的運(yùn)動軌跡 ，即為閉環(huán)系統(tǒng)特征根的 根軌跡 。 第一節(jié) 根軌跡圖 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )()( pssKsG??對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 KpssKsRsC??? 2)()(系統(tǒng)特征方程為 0)( 2 ???? KpsssDKpps ???? 22,1 )2(2系統(tǒng)特征根為 根軌跡圖 可見 ， 當(dāng) 時 ， 為兩相異的實(shí)根；當(dāng) 時 ， 為兩相等實(shí)根；當(dāng) 時 ，為一對共軛復(fù)根 ， 實(shí)部為 ， 虛部為 ， 4/0 2pK ?? 2,1s4/2pK ? 2,1s ??? Kp 4/2 2,1s2/p? ???? jjj ,0意味著這些復(fù)根都集中在根平面上 離虛軸 的 垂直線上 。 KK第二節(jié) 繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) ? 開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)式 ???????njjmiisTsksHsG11)1()1()()(?)()()()()()(11sJsKLpszsKsHsGnjjmii?????????????njjmiipzKk11
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