【正文】 Kpszs1)()(11 ????????由根軌跡方程知：當(dāng) s→∞ 時(shí) 18Jun21 5 根軌跡的漸近線 ： 若開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞ 時(shí)趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有 nm條。故 n階系統(tǒng)有 m支根軌跡的終點(diǎn)在 m個(gè)有限零點(diǎn)處 。 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 當(dāng) Kg= ∞時(shí)，① s = － zi (i = 1~m) ，上式成立。 18Jun21 4 01l i ml i m)()(l i m11 ?????????????????mnsnmsjnjmiis ssspszs根軌跡方程左邊01l i m ????? gK Kg根軌跡方程右邊 我們稱系統(tǒng)有 n－ m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。即根軌跡的 支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù) 。 n階特征方程有 n個(gè)根。而－ pj是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，所以 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) 。 一、根軌跡繪圖的基本規(guī)則 18Jun21 3 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)： Kg= 0時(shí)為起點(diǎn)， Kg= ∞時(shí)為終點(diǎn)。當(dāng) Kg從 0到無窮變化時(shí)，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。以下的討論是針對參數(shù) Kg的 180度根軌跡的性質(zhì)。 用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。18Jun21 1 第二節(jié) 根軌跡繪制的基本規(guī)則 18Jun21 2 根軌跡的對稱性： 一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)根或共軛復(fù)根。即特征根位于復(fù)平面的實(shí)軸上或?qū)ΨQ于實(shí)軸。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系，根軌跡的特殊點(diǎn)，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。 根軌跡的連續(xù)性和對稱性 根軌跡的連續(xù)性： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益 Kg的函數(shù)。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。 根軌跡的支數(shù)和起始點(diǎn) 根軌跡的支數(shù)： 當(dāng) Kg= 0時(shí)，只有 s = － pj (j = 1~n) 時(shí)，上式才能成立。 n階系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別是 n支根軌跡的起點(diǎn)。當(dāng) Kg 從 0到無窮大變化時(shí)， n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成 n支根軌跡。 1)()(11 ????????jnjmiigpszsK由根軌跡方程 得 gmiijnj Kzsps????????11)()(根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。 － zi是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有 m個(gè)。②若 nm，那么剩余的 nm個(gè)終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。這 nm條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。也就是漸近線方程。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn) ,5,1,0321 ???????? ppp無有限值零點(diǎn)，所以三支根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)。 ????60?60??18001?2?5? ?18Jun21 13 實(shí)軸上的根軌跡： 實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是： 其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。 ? 2s ? 3s先看試驗(yàn)點(diǎn) s1點(diǎn)： 所以 s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，于是 [－ p2 ,－ p1]為實(shí)軸上的根軌跡。 ； ③ 試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn) p2對試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為 0176。 ； 再看 s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。 ； 同樣 s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn)。 )10)(5)(1()2()(2 ?????sssssKsG gk[解 ]：零極點(diǎn)分布如下： 紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為： [10， 5]和 [2， 1] 。 ??實(shí)軸上的根軌跡例題 18Jun21 15 ???1p?2p?z?根軌跡的會合點(diǎn)和分離點(diǎn)： 若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。當(dāng) Kg→∞ 時(shí)，一支根軌跡終止于－ z，另一支走向－ ∞。 A、 B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的會合分離點(diǎn)。 如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn) (其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn) )之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會合點(diǎn)。 如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會合點(diǎn)。 18Jun21 17 [分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的求法 ]： 由重根法，求極值法和作圖法等。 )()()()()(11sDsNKpszsKsG gnjjmiigk ????????設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 即 0)()()( ??? sNKsDsFg0)(0)( ??? dd FF ?? 和[分離角 ]： 根軌跡進(jìn)入分離（會合）點(diǎn)的切線方向與離開分離（會合）點(diǎn)的切線方向之間的夾角。 dsgd sNsDK???? )( )(18Jun21 19 ② 極值法：若以 Kg為縱坐標(biāo)，以實(shí)軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)上， Kg具有極值。 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是： ]0,1[]5,( ???? 和?????????527 472 3722,1s注意： 分離點(diǎn)和會合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)必對稱于實(shí)軸。 ? ?1?5? 0[解 ]： ?0)5)(1(1)(1 ?????? sss KsG gk閉環(huán)特征方程為： )56()5)(1( 23 ssssssK g ????????0)5123( 2 ????? ssdsdK g?????ggKK18Jun21 23 根軌跡的出射角和入射角： 當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角稱為入射角。 p1, p2為共軛極點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)算 p1的出射角。 在離開 p1附近的根軌跡上取一點(diǎn) s1,則 s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件： ???????)12()()()()(432141312111????????????????????kpspspsps當(dāng) s1→ － p1時(shí)， ?1即為離開 － p1的根軌跡的出射角， ?1→ q1c 根軌跡的出射角和入射角 4321 )12( ?????q ?????? kc ? － p2的出射角應(yīng)與 － p1的出射角關(guān)于實(shí)軸對稱。 同樣，進(jìn)入復(fù)零點(diǎn) － zy的根軌跡入射角 qyr為： ?????????njjmyiiiyr k11)12( ???q ?式中： ?i為除了 － zy以外的開環(huán)零點(diǎn)到 － zy的矢量相角； ?j為各開環(huán)極點(diǎn)到 － zy的矢量相角。 18Jun21 25 [例 45]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的出射角。135。45,14432????????????tgtg)()12(11考慮到周期性????????????????????cckkq??q根據(jù)對稱性，可知 點(diǎn)的出射角為： ?2 ?cq2p?? 相角要注意符號；逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)； ? 注意矢量的方向： 112 , pzpp ??????[注意 ]： ?????1p?2p?4p?3p