專題講座——小波變換-展示頁
2025-05-22 13:49本頁面
【正文】 ? 小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系可以這樣來理解。系數(shù) c 的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù) c 可以反映這種波形的相關(guān)程度 3. 把小波向右移，距離為 k，得到的小波函數(shù)為 ψ(tk)，然后重復(fù)步驟 1和 2。 – 連續(xù)小波變換 – 離散小波變換 連續(xù)小波變換 2____________,L ( )()1( , ) ( ) , ) ( ) ( )aRxtx t C WTtW a x t t x t dtaa??? ? ???? ?? ?CWT:Continue Wavelet Transform將任意 (R) 空間中的 在小波基下進(jìn)行展開，稱這種展開為 的連續(xù)小波變換（where: a －縮放因子 ? －時間平移 注意：在 CWT中， scale和 position是連續(xù)變化的 CWT的變換過程 1. 把小波 ψ(t)和原始信號 f(t)的開始部分進(jìn)行比較 2. 計算系數(shù) c 。將信號在這個函數(shù)系上分解，就得到連續(xù)小波變換 小波分析 ? 小波變換通過平移母小波 (mother wavelet)可獲得信號的時間信息，而通過縮放小波的寬度 (或者叫做尺度 )可獲得信號的頻率特性。 ? 小波變換一個信號為一個小波級數(shù) ， 這樣一個信號可由小波系數(shù)來刻畫 。 ? 小波變換的一個重要性質(zhì)是它在時域和頻域均具有很好的局部化特征 ， 它能夠提供目標(biāo)信號各個頻率子段的頻率信息 。 窗函數(shù) w根據(jù) ?進(jìn)行了時移， 擴(kuò)展傅里葉變換表達(dá)式 2( , ) ( ) ( ) j F tX F x t w t e d t???? ??????短時傅里葉變換操作示意 問題 ?實際運(yùn)用中處理的問題與上述描述恰好相反：給定一個信號，希望能夠在時域和頻域上定位信號發(fā)生的事件，因此時間 ?和頻率 F都是不確定的，即按上述的分析不可行（結(jié)果不確定或有誤差） ?分析中，分辨率的損失是由于窗函數(shù) w(t)的時域?qū)挾燃案道锶~變換的頻率帶寬所決定的； ?信號不能同時在時域和頻域準(zhǔn)確定位 測不準(zhǔn)定理 Gabor變換引言 ? STFT將一個連續(xù)時間變量 t的信號 x(t)變換為有兩個連續(xù)時間變量的 X(?,F) ? 意味著 STFT包含了很多的冗余信息 ? 將頻率 F離散化， F=Kf0 ? 將時間離散化，在 ?=mT0采樣 Gabor變換： X[m,k]=X(mT0,kF0) Gabor變換 ? 通過 Gabor變換，信號 x(t)被展開為： 0,2,0( ) [ , ] ( )( ) ( )mkmkj k F tmkx t X m k e te t w t m T e?????其中：? Gabor變換公式： 0______________ 20[ , ] ( ) ( )j k F tX m k x t w t m T e d t?? ??????? 小波變換是強(qiáng)有力的時頻分析 (處理 )工具 ， 是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的 。專題講座 — 小波變換 主要內(nèi)容 1. 引言 2. 時頻展開 3. 使用 Matlab 4. 若干應(yīng)用場景 引言 ?傅里葉變換應(yīng)用非常廣泛的原因可能是 : ?直觀性 ?數(shù)學(xué)上的完美性 ?計算上的有效性 ?仍有局限性： 在整個時間軸上積分 ,表示了信號的全局特征 (變換后 ,時間是亞元 ) ?如果需要分析信號的局部信號怎么辦 ? ?樂譜 ?油田勘探 ?…… 時頻展開 時頻展開 ?希望定義一種工具能幫助計算信號 x(t)的瞬時傅里葉變換，記為 X(?,F) ?如何定義一組能夠表現(xiàn)出信號瞬時性的基函數(shù)，該基函數(shù)必須包括兩個基本變量 時間 ?和頻率 F 時頻展開主要內(nèi)容 1. 短時傅里葉變換 STFT 2. Gabor變換 GT 3. 連續(xù)小波變換 CWT 4. 小波變換 WT 短時傅里葉變換 STFT 確定信號局部頻率特性的比較簡單的方法是在時刻 ?附近對信號加窗，然后計算傅里葉變換。 X(?,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t ?)} 其中， w(t?)是一個以時刻 ?為中心的窗函數(shù)，注意信號 x(t)中的時間 t和 X(?,F)中的 ?。 已成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域 ， 如信號處理 、 圖像處理 、 模式識別等 。 這種信息對于信號分類是非常有用的 。 小波變換 數(shù)學(xué)顯微鏡 部分小波波形 小波基函數(shù) 12,)) ( ) , 0 ,),aattt a a Rata?????? ? ???? ?? ? ?將小波母函數(shù) （ 進(jìn)行伸縮和平移，令伸縮因子（稱尺度因子）為a,平移因子為 ，則：（則稱 （ 是依賴參數(shù) 的小波基函數(shù)。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表小波和局部信號之間的相互關(guān)系。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。再把小波向右移，得到小波 ψ(t2k)，重復(fù)步驟 1和 2?？s放因子小，表示小波比較窄，度量的是信號細(xì)節(jié)，表示頻率 w 比較高；相反，縮放因子大，表示小波比較寬，度量的是信號的粗糙程度，表示頻率 w 比較低。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。 ? 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換 (dyadic wavelet transform)，它是離散小波變換 (discrete wavelet transform， DWT)的一種形式。 ? 使用離散小波分析得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關(guān)系如圖所示。 離散小波變換分析圖 D
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