向量值函數(shù)在定向曲線上的積分-展示頁(yè)
2025-05-21 00:06本頁(yè)面
【正文】 的向徑上對(duì)應(yīng)參數(shù)表示其中 ttr ??定向光滑曲線上各點(diǎn)處的切向量的方向總是與曲線的走向相一致 . 切向量為：在其上任一點(diǎn)處的曲線由參數(shù)方程給出的定向 ?? ?)(,)(,)( tztytx ???????., 取負(fù)號(hào)時(shí)當(dāng)取正號(hào)時(shí)其中當(dāng) ?? ?? ?? baba一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 1. 引例 : 變力沿曲線所作的功 . 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用 在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, 求移 ?c o sABFW ?“(分割 )大化小” “(近似 )常代變” “(求和 )近似和” “取極限” 變力沿直線所作的功 解決辦法 : 動(dòng)過(guò)程中變力所作的功 W. ABF ??A BF?ABLxy( , ) ( , ) ( , )F x y P x y i Q x y j? ? ???1?kMkMABxy1) “(分割 )大化小 ” . 2) “(近似 )常代變 ” L把 L分成 n 個(gè)小弧段 , 有向小弧段 近似代替 , 則有 kkkk yQxP ???? ),(),( kk ????所做的功為 F 沿 kkkk MMFW 1),( ???? ?? k),( kkF ??????nkkWW1則 用有向線段 上任取一點(diǎn) 在 ky?kx?3) “(求和 )近似和 ” 4) “取極限 ” ???nkW1? ?kkkkkk yξQxP ??? ),(),( ???????nkW10lim? ? ?kkkkkk y) ΔηQ( ξx) ΔηξP ,( ?(其中 ? 為 n 個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度 ) 1?kMkMABxyL),( kkF ??ky?kx?2. 定義 . 設(shè) L 為 xOy 平面內(nèi)從 A 到 B 的一條 有向光滑 弧 , 若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn) , 都存在 , 在定向曲線弧 L 上 對(duì) 坐標(biāo)的曲線積分 , ? ?L yyxQxyxP d),(d),(? kkk xP ?),( ?? ?kkk yQ ?? ),( ????nk 10lim??則稱此極限為向量值函數(shù) 或 第二類曲線積分 . 在 L 上定義了一個(gè)向量函數(shù) 極限 記作 ( , ) ( , ) ( , )F x y P x y i Q x y j? ? ????L xyxP d),( ,),(lim 10 ??? ??nkkkk xP ????L yyxQ d),( ,),(lim 10 ??? ??nkkkk yQ ???稱為對(duì) 坐標(biāo) x 的曲線積分 。 稱為對(duì)坐標(biāo) y 的曲線積分 . ? ?? ?L ryxF d),( ? ?? L yyxQxyxP d),(d),(,稱為定向積分曲線L.d),(d),( 稱為積分表達(dá)式y(tǒng)yxQxyxP ?,d 稱為定向弧元素?ryx d,d ., 的投影元素稱為定向弧的坐標(biāo)為 L?rd
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