第7講群的同態(tài)與群的同構-展示頁
2024-09-17 15:58本頁面
【正文】 較 ,從而揭示出兩個群的某些共同性質 ,以至區(qū)別二者的異同 ,著無疑是在群的研究中具有重要意義的基本觀念和基本理論 ,同時也是實踐性很強的基本方法 .由于在第一章中 ,對于一般代數(shù)體系的比較問題以有了說明 ,這里將具體的 在群里討論同態(tài) ,同構 ,要求同學們掌握 : 對同態(tài) (構 )這種代數(shù)現(xiàn)象有更透徹 ,深沉的了解 . 對群而言 ,同態(tài)在傳遞代數(shù)性質方面會有什么新的不同和補充 . 熟悉一批常量的同態(tài) (構 )的群例 . 本講的重點和難點 :與第一章中代數(shù)體系同態(tài) (構 )不同的是 ,群是一個更具體的對象 ,故具有特殊的性質 .因此 ,熟悉群同態(tài)中代數(shù)性質 “ 傳遞 ”到同態(tài) 的有關問題是本講的重點 ,掌握其定理的證明方法是其難點 . 本講的教法和教具 采用啟發(fā)式教學法 ,并繼續(xù)使投影儀 . 注意 : 根據(jù)本講知識結構的重要 ,增設了 “ 群同構 ” 的內容 . 一 ,群同構 定義 ? ? ?? oGoG , 和 都是群 .如果存在雙 GG?:? 使 Gba ??, 在 G 上 ,都有)()()( baba ??? ?? ? （即 ? 保運算 ） 則稱 ? 是同構映射 .同時稱 G 與 G 同構 ,記為 G ? G ,也稱 G 是 G 的同構象 . 明示 :對于同構的群 G 與 G ,我們認為 G 與 G 是代數(shù)相同的 ,因為這是對于近世代數(shù)所研究的問題來 說 ,除了符號與名稱上的區(qū)別之外 ,二者沒有實質的差異 . 結論 1. 設 : G ? G 是群同構映射 ,那么 ? 的逆映射 ? 1? :G ? G 也是群的同構映射 . 【 證明 】 : 由第一章已知 , ? 1? :G ? G 必是雙射 ,現(xiàn)須證 ? 1? 能保運算即可．事實上，注意到 ? 1? ? ＝ G1 ，且 ? a ， b ?G ，則必存在 a ， b ? G 使? ??a ＝ a ， ? ??b ＝ b ，且 ? 1? ??a ＝ a ， ? 1? ??b ＝ b ．于是 ? 1? ? ?ba? ＝ ? 1? ? )()( ba ?? ? ? =? 1? ))(( ba?? = ?? )(1 ba??? G1 ?? baba ?? )( )()( 11 ba ?? ?? ? ? ? 1? ? ?ba? = )()( 11 ba ?? ?? ? ? ? 1? 保運算 .即 ? 1? 是同構映射 . 結論 2 設 ? 1 :G 1 2G? 和 ? 2 : 2G 3G? 都是群同構映射 ,那么 ? 1 ? 2 : 也是群同構映射。而 21 ??， 都能保運 算 ， 須 證 21?? 也 能 保 運 算 。 結論 3 在群之間的同構“ ? ”作為關系時， “ ? ” 必是一個等價關系。 （ 2）若 1G ?? 2G 那么由結論 1 12 1GG ??? ? （ 3）若 1G 1?? 2G ， 且 ,32 2GG?? 由結論 2 31 12 GG ???? 由（ 1），（ 2）知，“ ? ”滿足發(fā)射定律，對稱律和傳遞律。 例 1：設 ? ?]1[],0[2 ?Z 是模 2的剩余類加群，而 }1,1{2 ??U 是方程 12?x 的全部單位根，又設 ? ?偶，奇?W ，其中這三個集合上的代數(shù)運算表分別為： + [0] [1] ? 1 1 ? 偶 奇 [0] [0] [1] 1 1 1 偶 偶 奇 [1] [1] [0] 1 1 1 奇 奇 偶
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