第7講群的同態(tài)與群的同構(gòu)-wenkub.com
2024-09-01 15:58 本頁面
【正文】 其次，須證 ? 能保運(yùn)算， ?????? ???? 1111 )()()(, yxyxxyxyGyx ? .)()( 11 yxxyyxxy ??? ?? ?? 能保運(yùn)算，即 ? 是一個(gè) G 的自同構(gòu)， “ ?” ?? 是自同構(gòu) ， ., Gyx ??? 有 )()()( yxxy ??? ? 那么 .)()()()()( 1111 yxxyyxyxyxxyxy ?????? ???? ??? 由 yx, 的任意性 G? 是個(gè)可換群，（注：這里用到性質(zhì)： baba ??? ?? 11 ） 思考題及作業(yè)： P44。習(xí)慣上稱 a? 為 G 的內(nèi)自同構(gòu) . 例 7 設(shè) G 為群 . 那么 G 的一切自同構(gòu)組成的集合記為 .AutG ，而 G 的一切內(nèi)自同構(gòu)組成的集合記為 InG . 于是我們有： （ 1） .AutG 是群，其中，運(yùn)算就是映射的通常的乘法 . （ 2） InG 是群，其中運(yùn)算就是映射的通常的乘法 . 注意 ：在（ 1）中， .AutG 的單位元自然想到應(yīng)是恒等映射 G1 ， 而 .AutG??? . 那么 1?? 就是映射 )1( 111 G?? ??? ????? 在（ 2）中 ，單位元為 eG ??1 ， ( 其中， e 為 G 的單位元） 而11 ??? aa ??，對(duì)于上述介紹的三個(gè)對(duì)象，它們有如下關(guān)系： InG ? AutG ? EndG 。是 Ge? （ ii）須證 eaaaa ?? ?? )()()()( 11 ???? 事實(shí)上，.)()a()()()()()()(1111eeaaaeeaaaa?????????????????? 且 )a()a()a()a( 111 ?? ?? ???? 的逆元，即是 注意 ：現(xiàn)將定理 1 中條件稍改變一下：設(shè) ? 是代數(shù)體系 ? ??,A 到代數(shù)體系? ??,A 的同態(tài)映射（不一定是滿射） . 設(shè) })({)( AaaAA ???? ?? 是 A 在 ? 之下的象的集合，那么 ? 就是 ? ??,A 到 ? ??,A 的同態(tài)滿射，這樣一來，我們又可以使用定理 1 和定理 2 了 . 三 自同態(tài)和自同構(gòu) （ 1） 自同態(tài) 定義 3 設(shè) G 是群 . 若 ? 是 G 到 G 自身的群同態(tài)，則稱 ? 為 G 的一個(gè)自同態(tài) . 例 4 給定加法群 ??? ??,xF . 其中“ +”為多項(xiàng)式通常的加法 . 并設(shè)].[][, xFxF ?? 其中 )())((],[)( xfxfxFxf ???? ? ， 顯然 ，)).(())(()()())()(())()(( xgxfxgxfxgxfxgxf ??? ?????????? . 故 ? 是 ??? ??,xF 的一個(gè)群自同態(tài) . 例 5 設(shè) G 是一個(gè)群 . 令 EndG 表示 G 的一切自同態(tài)組成的集合，那么? ??,EndG 為一個(gè) monoid .其中“ ? ”為映射的 合 成 . 解釋 ：因?yàn)?,:1 GGG ? 其中 ,)(1 GxxxG ??? 故 G1 為 G 上的恒等映射 . 它必是 G 的自同態(tài) . .E n d GE n d G1 G ????? ? 2121 , ???? 那么，E n d G?? 也是 G 的自同態(tài)， 即 ?? .21 EndG?? 封閉性成立 . ? 而因一切映射的全成都滿足結(jié)合律 EndG 中也滿足結(jié)合律 。 例２：設(shè)兩個(gè)群 ? ??,Z 和 ? ??,Z ，其中： ? ?.,3,2,1,0,1,2,3, ?? ????Z ? ? ? ??? ,10,10,10,10,10,10,10,10 3210123 ?????? ZnZ n 作 ,: ZZ??
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