第7講群的同態(tài)與群的同構(gòu)(已修改)
2025-09-16 15:58 本頁(yè)面
【正文】 第 7 講 167。 4 群的同態(tài)與群的同構(gòu) （ 2 課時(shí) ） (Homomorphism and Isomorphism of the groups) 本講的教學(xué)目的和要求 :對(duì)群進(jìn)行比較時(shí) ,采用的主要工具就是同態(tài)和同構(gòu) .通過(guò)對(duì)群的比較 ,從而揭示出兩個(gè)群的某些共同性質(zhì) ,以至區(qū)別二者的異同 ,著無(wú)疑是在群的研究中具有重要意義的基本觀念和基本理論 ,同時(shí)也是實(shí)踐性很強(qiáng)的基本方法 .由于在第一章中 ,對(duì)于一般代數(shù)體系的比較問(wèn)題以有了說(shuō)明 ,這里將具體的 在群里討論同態(tài) ,同構(gòu) ,要求同學(xué)們掌握 : 對(duì)同態(tài) (構(gòu) )這種代數(shù)現(xiàn)象有更透徹 ,深沉的了解 . 對(duì)群而言 ,同態(tài)在傳遞代數(shù)性質(zhì)方面會(huì)有什么新的不同和補(bǔ)充 . 熟悉一批常量的同態(tài) (構(gòu) )的群例 . 本講的重點(diǎn)和難點(diǎn) :與第一章中代數(shù)體系同態(tài) (構(gòu) )不同的是 ,群是一個(gè)更具體的對(duì)象 ,故具有特殊的性質(zhì) .因此 ,熟悉群同態(tài)中代數(shù)性質(zhì) “ 傳遞 ”到同態(tài) 的有關(guān)問(wèn)題是本講的重點(diǎn) ,掌握其定理的證明方法是其難點(diǎn) . 本講的教法和教具 采用啟發(fā)式教學(xué)法 ,并繼續(xù)使投影儀 . 注意 : 根據(jù)本講知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要 ,增設(shè)了 “ 群同構(gòu) ” 的內(nèi)容 . 一 ,群同構(gòu) 定義 ? ? ?? oGoG , 和 都是群 .如果存在雙 GG?:? 使 Gba ??, 在 G 上 ,都有)()()( baba ??? ?? ? （即 ? 保運(yùn)算 ） 則稱 ? 是同構(gòu)映射 .同時(shí)稱 G 與 G 同構(gòu) ,記為 G ? G ,也稱 G 是 G 的同構(gòu)象 . 明示 :對(duì)于同構(gòu)的群 G 與 G ,我們認(rèn)為 G 與 G 是代數(shù)相同的 ,因?yàn)檫@是對(duì)于近世代數(shù)所研究的問(wèn)題來(lái) 說(shuō) ,除了符號(hào)與名稱上的區(qū)別之外 ,二者沒(méi)有實(shí)質(zhì)的差異 . 結(jié)論 1. 設(shè) : G ? G 是群同構(gòu)映射 ,那么 ? 的逆映射 ? 1? :G ? G 也是群的同構(gòu)映射 . 【 證明 】 : 由第一章已知 , ? 1? :G ? G 必是雙射 ,現(xiàn)須證 ? 1? 能保運(yùn)算即可．事實(shí)上，注意到 ? 1? ? ＝ G1 ，且 ? a ， b ?G ，則必存在 a ， b ? G 使? ??a ＝ a ， ? ??b ＝ b ，且 ? 1? ??a ＝ a ， ? 1? ??b ＝ b ．于是 ? 1? ? ?ba? ＝ ? 1? ? )()( ba ?? ? ? =? 1? ))(( ba?? = ?? )(1 ba??? G1 ?? baba ?? )( )()( 11 ba ?? ?? ? ? ? 1? ? ?ba? = )()( 11 ba ?? ?? ? ? ? 1? 保運(yùn)算 .即 ? 1? 是同構(gòu)映射 . 結(jié)論 2 設(shè) ? 1 :G 1 2G? 和 ? 2 : 2G 3G? 都是群同構(gòu)映射 ,那么 ? 1 ? 2 : 也是群同構(gòu)映射。 *證明 *： 21 ??和? ，都是雙射，自然 21?? 也是雙射。而 21 ??， 都能保運(yùn) 算 ， 須 證 21?? 也 能 保 運(yùn) 算 。 事 實(shí) 上 ， 1, Gba ?? ，1221211212 )()()]()([)( ?????????? ??? babaab 是同構(gòu)映射。 結(jié)論 3 在群之間的同構(gòu)“ ? ”作為關(guān)系時(shí)， “ ? ” 必是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 【 證明 】 ：（ 1）任一個(gè)群 G ，顯然 G G1? G ，這里 1G 是 G 的恒等變換。 （ 2）若 1G ?? 2G 那么由結(jié)論 1 12 1GG ??? ? （ 3）若 1G 1?? 2G ， 且 ,32 2GG?? 由結(jié)論 2 31 12 GG ???? 由（
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