第7講群的同態(tài)與群的同構(gòu)-資料下載頁(yè)
2025-08-27 15:58本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】到同態(tài)的有關(guān)問(wèn)題是本講的重點(diǎn),掌握其定理的證明方法是其難點(diǎn).本講的教法和教具采用啟發(fā)式教學(xué)法,并繼續(xù)使投影儀.是同構(gòu)映射.同時(shí)稱G與G同構(gòu),記。G,也稱G是G的同構(gòu)象.G必是雙射,現(xiàn)須證?可．事實(shí)上，注意到?，都是雙射，自然21??結(jié)論3在群之間的同構(gòu)“?”作為關(guān)系時(shí)，“?”：任一個(gè)群G，顯然GG1?G，這里1G是G的恒。滿足發(fā)射定律，對(duì)稱律和傳遞律。Z是模2的剩余類加群，而}1,1{2??的全部單位根，又設(shè)??W，其中這三個(gè)集合上的代數(shù)運(yùn)算表。不僅是雙射，而且都能保運(yùn)算，即22UZ??通過(guò)運(yùn)算表也許能解決單位元和逆元問(wèn)題,但。,A的結(jié)合律的檢驗(yàn),是相當(dāng)費(fèi)事的,怎么辦?
【正文】 為一個(gè) monoid .其中“ ? ”為映射的 合 成 . 解釋 ：因?yàn)?,:1 GGG ? 其中 ,)(1 GxxxG ??? 故 G1 為 G 上的恒等映射 . 它必是 G 的自同態(tài) . .E n d GE n d G1 G ????? ? 2121 , ???? 那么，E n d G?? 也是 G 的自同態(tài)， 即 ?? .21 EndG?? 封閉性成立 . ? 而因一切映射的全成都滿足結(jié)合律 EndG 中也滿足結(jié)合律 。 ? 最后， G1 就是 EndG 的單位元 由上述分析知， EndG 是一個(gè) monoid （ 2）自同構(gòu) 定義 4 設(shè) G 是群 . 若 ? 是 G 到 G 自身的一個(gè)同構(gòu)映射 . 那么稱 ? 為 G 的一個(gè)自同構(gòu)。 例 6 設(shè) G 為群 ， 先固 定 G 中 一個(gè) 元 素 Ga? . 規(guī)定 .: GGa ?? . ,.)( 1 Gxaxaxa ??? ?? 那么 a? 必是 G 的一個(gè)自同構(gòu) . 證明： a? 是單射： , Gyx ?? ,yx?若 那么必有 ).y()x( aa ?? ? 否則，若).y()x( aa ?? ? 則有 11 ayaaxa ?? ? ， 由群中的消去律 ? ?? ,yx )y()x( aa ?? ? ， ?是單射。 a? 是滿射： Gg?? ，取 Gagax 1?? ? . 那么xga)gaa(aa x a)x( 111a ???? ???? 是 g 的原象 . a? 是滿射 . a? 保運(yùn)算：其實(shí)， Gyx ??, ， 那么 )()())(()()( 111 yxa y aa x aaxyaxy aaa ??? ??? ??? ， 由上知， a? 是一個(gè)自同構(gòu)。習(xí)慣上稱 a? 為 G 的內(nèi)自同構(gòu) . 例 7 設(shè) G 為群 . 那么 G 的一切自同構(gòu)組成的集合記為 .AutG ，而 G 的一切內(nèi)自同構(gòu)組成的集合記為 InG . 于是我們有： （ 1） .AutG 是群，其中，運(yùn)算就是映射的通常的乘法 . （ 2） InG 是群，其中運(yùn)算就是映射的通常的乘法 . 注意 ：在（ 1）中， .AutG 的單位元自然想到應(yīng)是恒等映射 G1 ， 而 .AutG??? . 那么 1?? 就是映射 )1( 111 G?? ??? ????? 在（ 2）中 ，單位元為 eG ??1 ， ( 其中， e 為 G 的單位元） 而11 ??? aa ??，對(duì)于上述介紹的三個(gè)對(duì)象，它們有如下關(guān)系： InG ? AutG ? EndG 。 例 8．設(shè) G 為任意群，而映射 ,: GG?? 為 Gx,)( 1 ??? ?xx? 試證： ? 是自同構(gòu) ? G 是可換群。 **證明 **： ? 首先， 易知 ? 是雙射。事實(shí)上，當(dāng) yx? 時(shí)，自然 yx? ， ?? 是單射， ,G?? 則 aaa ?? ??? 111 )()(? 這表明 1?a 是 a 的原象， ?為滿射。其次，須證 ? 能保運(yùn)算， ?????? ???? 1111 )()()(, yxyxxyxyGyx ? .)()( 11 yxxyyxxy ??? ?? ?? 能保運(yùn)算，即 ? 是一個(gè) G 的自同構(gòu)， “ ?” ?? 是自同構(gòu) ， ., Gyx ??? 有 )()()( yxxy ??? ? 那么 .)()()()()( 1111 yxxyyxyxyxxyxy ?????? ???? ??? 由 yx, 的任意性 G? 是個(gè)可換群，（注：這里用到性質(zhì)： baba ??? ?? 11 ） 思考題及作業(yè)： P44。 任意一個(gè)群 G ，證明：對(duì)于映射的通常的合成，那么， AutG 是一個(gè)群， InG 是一個(gè)群。
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1