線代答案第五章-展示頁(yè)
2024-09-16 21:17本頁(yè)面
【正文】 42121) , ,( ? (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz? 解 ??????????????????? ?????zyxzyxf722 211211) , ,( ? (3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4? 解 ???????????????????????????432143211021013223111211) , , ,(xxxxxxxxf ? 26? 寫出下列二次型的矩陣 ? (1) xxx ??????? 13 12)( Tf ? 解 二次型的矩陣為 ??????? 13 12A ? (2) xxx ?????????987 654321)( Tf ? 解 二次型的矩陣為 ?????????987 654321A ? 27? 求一個(gè) 正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形 : (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3? 解 二次型的矩陣為 ?????????320 230002A ? 由 )1)(5)(2(320 230 002 ??????? ????????? EA ? 得 A的特征值為 ?1?2? ?2?5? ?3?1? 當(dāng) ?1?2時(shí) , 解方程 (A?2E)x?0? 由 ??????????????????000 100210120 2100002 ~EA ? 得特征向量 (1? 0? 0)T? 取 p1?(1? 0? 0)T? 當(dāng) ?2?5時(shí) ? 解方程 (A?5E)x?0? 由 ???????? ??????????????000 110001220 2200035 ~EA ? 得特征向量 (0? 1? 1)T? 取 T)21 ,21 ,0(2 ?p? 當(dāng) ?3?1時(shí) ? 解方程 (A?E)x?0? 由 ??????????????????000 110001220 220001 ~EA ? 得特征向量 (0? ?1? 1)T? 取 T)21 ,21 ,0(3 ??p? 于是有正交矩陣 T?(p1? p2? p3)和正交變換 x?Ty? 使 f?2y12?5y22?y32? (2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4? 解 二次型矩陣為???????????????1101111001111011A ? 由 2)1)(3)(1(1101111001111011?????????????? ???????? EA ? 得 A的特征值為 ?1??1? ?2?3? ?3??4?1? 當(dāng) ?1??1時(shí) ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(1 ???p? 當(dāng) ?2?3時(shí) ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(2 ???p? 當(dāng) ?3??4?1時(shí) ? 可得線性無(wú)關(guān)的單位特征向量 T)0 ,21 ,0 ,21(3 ?p ? T)21 ,0 ,21 ,0(4 ?p ? 于是有正交矩陣 T?( p1? p2? p3? p4)和正交變換 x?Ty? 使 f??y12?3y22?y32?y42? 28? 求一個(gè)正交變換把二次曲面的方程 3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成標(biāo)準(zhǔn)方程 ? 解 二次型的矩陣為 ?????????? ???552 552223A ? 由 )11)(2(552 552223|| ??????? ?????? ??????? EA ? 得 A的特征值為 ?1?2? ?2?11? ?3?0? ? 對(duì)于 ?1?2? 解方程 (A?2E)x?0? 得特征向量 (4? ?1? 1)T? 單位化得 )23 1 ,23 1 ,23 4(1 ??p? 對(duì)于 ?2?11? 解方程 (A?11E)x?0? 得特征向量 (1? 2? ?2)T? 單位化得 )32 ,32 ,31(2 ??p? 對(duì)于 ?3?0? 解方程 Ax?0? 得特征向量 (0? 1? 1)T? 單位化得)21 ,21 ,0(3 ?p ? 于是有正交矩陣 P?(p1? p2? p3)? 使 P?1AP?diag(2? 11? 0)? 從而有正交變換 ???????????????????????????????????wvuzyx21322312132231031234? 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程 2u2?11v2?1? 29? 明 ? 二次型 f?xTAx在 ||x||?1時(shí)的最大值為矩陣 A的最大特征值 . 證明 A為實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 則有一正交矩陣 T? 使得 TAT?1?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)?? 成立 ? 其中 ?1? ?2? ? ? ?? ?n為 A的特征值 ? 不妨設(shè) ?1最大 ? 作正交變換 y?Tx? 即 x?TTy? 注意到 T?1?TT? 有 f?xTAx?yTTATTy?yT?y??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2? 因?yàn)?y?Tx正交變換 ? 所以當(dāng) ||x||?1時(shí) ? 有 ||y||?||x||?1? 即 y12?y22? ? ? ? ?yn2?1? 因此 f ??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2??1? 又當(dāng) y1?1? y2?y3?? ? ??yn?0時(shí) f ??1? 所以 f max ??1? 30? 用配方法化下列二次形成規(guī)范形 ? 并寫出所用變換的矩陣 ? (1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 ?(x1?x2?2x3)2?4x2x3?2x22?x32 ?(x1?x2?2x3)2?2x22?(2x2?x3)2? 令 ???????????3232232112 22xxy xyxxxy ? 即??????????????323223211221225yyxyxyyyx? 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32? 所用的變換矩陣為 ?????????????????12002102251C? (2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 ?(x1?x3)2?x32?2x2x3? ?(x1?x3)2?x22?(x2?x3)2? 令 ??????????32322311xxy xyxxy ? 即????????????323223211yyx yxyyyx ? 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32? 所用的變換矩陣為 ???????????110 010111C ? (
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