16733解對初值的連續(xù)性和可微性定理-展示頁
2024-09-13 14:17本頁面
【正文】 yxyx即此解也可寫成 : ),(11 yxxy ??且顯然有 : ),(1100 yxxy ??,),( 11 是積分曲線上任一點由于點 yx。yxyxyxxy連續(xù)依賴于初值在點的解則稱初值問題 ??39。 ( , )f x y( , )dy f x ydx ?()x? ()x?0x 000( ) ( ) ( ) ( )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?證明 令上均有定義在區(qū)間設(shè) ,],[)(),( baxx ??],[,))()(()( 2 baxxxxV ??? ???)(39。39。 xxfxxfxxxV ???? ???))()(())()((2 xxLxx ???? ??? )(2 xLV?于是 0))(( 2 ?? LxexVdxd有因?qū)?],[0 bax ??bxxexVxV xxL ??? ? 0)(20 ,)()( 0，xxa 類似可證對 0??因此 ],[,)()( 020 baxexVxV xxL ?? ?兩邊取平方根即得 ],[,)()()()( 000 baxexxxx xxL ???? ?????2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y ?? ? ? ?2 定理 1 (解對初值的連續(xù)依賴性定理 ) 00 ?( , )x y G00?? ( , , )y x x yy( , )f x y條件 : I. 在 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部 。 2 1? ? ?( , ) , ( ) ), (dy f x y x y G Rdx方程 結(jié)論 : 在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的 . 00 ?( , )x y G00?? ( , , ) ,y x x y ,作為 的函數(shù) 00,x x y證明 ,),(00 Gyx ??對,),(),(),(),()(00000000上定義于的飽和解過yxxyxyxxyyx??? ???令 },),(),(),(|),{(00000000 GyxyxxyxyxxV ???? ??,),( 00 內(nèi)連續(xù)在下證 Vyxxy ??,),( 00 Vyxx ??對],[,],[),(],[ 000 baxxbayxxyba ??? 其中上有定義在使 ?使當(dāng)對 ,0,0 1 ???? ??時,)()( 21202000 ????? yyxx],[,2),(),( 0000 baxyxxyxx ??? ???,],[),( 00 連續(xù)在而 baxyxxy ?? ?使當(dāng)故 ,02 ?? ? 時2??? xx],[,2),(),( 0000 baxxyxxyxx ??? ???則只要取 },m i n { 21 ??? ?就有,)()()( 22020002 ??????? yyxxxx),(),( 0000 yxxyxx ?? ?),(),( 0000 yxxyxx ?? ?? ),(),( 0000 yxxyxx ?? ????二 解對初值的可微性 的微分方程對含參量 ??? )(),( yxfdxdy ?條件滿足局部內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)L i ps c hi t zyGGyxyxGyxf?? ?????,)},(,),(|),{(),( ???),),(,),(,),((無關(guān)與條件滿足內(nèi)對在使為中心球以即對???? ??LL i p s ch i t zyCyxfGCyxGyx ????0 0 0 00 0 00 0 0 0 0( , ) , ( 3. 1 ) ( , , ), ( , , , )( , , , ) .x y Gy x x yy x x y??? ? ? ?????? ? ???則 對 方 程 通 過 點的 解 存 在 且 唯 一 記 這 個 解 為且 有1 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理 ,),()(),(,),(,),(000000000
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