【正文】 頻率采樣法 頻率采樣法是一種基于頻率域抽樣來(lái)逼近所要設(shè)計(jì)的 FIR濾波器的頻率特性的一種方法。 D. 計(jì)算理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) )(nhd ，即 ??? ??? dweeHnh jw njwdd )(21)( 。 B. 根據(jù)濾波器阻帶衰減 s? ，選擇窗函數(shù) )(nw 的類型，根據(jù)過(guò)渡帶寬度確定時(shí)窗函數(shù)的長(zhǎng)度 N ,并根據(jù)線性相位條件進(jìn)行修正。一般阻帶最小衰減達(dá)到 40dB 以上，則通帶最大衰減就小于 。五種窗函數(shù)的主要參數(shù)如表 21所 示。但是這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間彼此是有矛盾的，即主瓣寬度越大，旁瓣水平才可能越低。 一個(gè)好的時(shí)窗函數(shù)的要求： 。吉布斯效應(yīng)直接影響到濾波器的性能，因?yàn)橥◣?nèi)的波動(dòng)會(huì)影響到濾波器的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波動(dòng)則影響阻帶最小衰減。矩形窗的表達(dá)式為： ??? ???? 其它， ,0 101)( Nnw nR ， n 為整數(shù)?？梢灶A(yù)見，使用這種方法截取的序列越長(zhǎng)，對(duì)理想的幅頻特性逼近的越好。為了能夠得到一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，可以將 )(nhd截取一部分，并順序右移，使之成為一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列。 窗函數(shù)法 一個(gè)理想低通濾波器的幅頻特性如圖 25所示。 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有三種 【 11】 ：時(shí)窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋設(shè)計(jì)法。 x （ n )1?z 1?z 1?z 1?z 1?z 1?z11? 21? 12? 22? 1L? 2L?h ( 0 )y ( n ) 圖 24 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 從圖中可以看出，級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)每產(chǎn)生一個(gè)輸出，需要 1?N 次乘法， 1?N 次加法。這樣，每產(chǎn)生一個(gè)輸出，經(jīng)過(guò) 2/N 次乘法， 1?N 次加法，比原來(lái)減少 2/N 次乘法。以嚴(yán)格線性相位， N為偶數(shù)的 FIR 濾波器為例，如圖 23 所示。對(duì)于使用 FPGA 開發(fā) FIR 數(shù)字濾波器，這樣的結(jié)果顯然不令人滿意。 （ 1）直接型結(jié)構(gòu) 由式 22可直接畫出 FIR 數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)，如圖 22 所示。 FIR 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 由于 FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)算法的不同，我們可以把 FIR 濾波器的結(jié)構(gòu)劃分為直接型、級(jí)聯(lián)型、頻率采樣型和快速卷積型四種基本形式 【 10】 。這使得 FIR 數(shù)字濾波器在信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏?、?shù)據(jù)通信、圖像傳輸與處理、語(yǔ)音信號(hào)處理等有線性相位要求的領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。 A / D H ( Z )x ( n )x ( t ) y ( n ) 圖 21 數(shù)字濾波系統(tǒng) IIR 濾波器主要是基于對(duì)模擬濾波器如巴特沃斯濾波器、橢圓濾波器等的幅頻響應(yīng)進(jìn)行逼近，而其相頻響應(yīng)是非線性的。 H(z)為該數(shù)字濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) h(n)的 Z變換，即： ????? ?? n nznhzH )()( (21) 若 h(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列，則得到的數(shù)字濾波器為 IIR數(shù)字濾波器，又稱遞歸濾波器；反之，若 h(n)為有限長(zhǎng)序列，則得到的數(shù)字濾波器為 FIR 濾波器，也稱非遞歸濾波器。圖中， x(t)為模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò) A/D 轉(zhuǎn)換器后變?yōu)橐粋€(gè)有著先后順序的數(shù)字序列 x(n)。下面將首先介紹一下數(shù)字濾波器，然后重點(diǎn)討論 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理和結(jié)構(gòu)。 2 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 【 9】 數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中屬于預(yù)處理的部分，因而起著基礎(chǔ)性的作用，數(shù)字濾 波器包括 IIR和 FIR 數(shù)字濾波器。但是， DA 算法中的查找表的規(guī)模隨著 FIR數(shù)字濾波器長(zhǎng)度的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，而且隨著濾波器系數(shù)的位數(shù)的增加，查找表的規(guī)模也會(huì)增加，這將極大的增加設(shè)計(jì)的硬件規(guī)模。 FPGA 和 DSP 技術(shù)的結(jié)合能夠更進(jìn)一步提高集成度、加快速度和擴(kuò)展系統(tǒng)功能。分布式算法可以很好地在 FPGA(Field Programmable Gate Array)中實(shí)現(xiàn)，然而卻不能有效的在 DSP 處理器中實(shí)現(xiàn)，所以采用 FPGA 使用分布式算法實(shí)現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器有著很好的發(fā)展前景。在一些高速應(yīng)用中，系統(tǒng)性能的要求不斷增長(zhǎng)，而 DSP性能的提高卻落后于需求的增長(zhǎng)。它們體積小、保密性好，具有極高的性能，然而靈活性差。這些特點(diǎn)都非常適合數(shù)字信號(hào)處理中的濾波器 設(shè)計(jì)的有效實(shí)現(xiàn)，并且它速度快，成本低，在過(guò)去的 20多年的時(shí)間里，軟件可編程的 DSP 器件幾乎統(tǒng)治了商用數(shù)字信號(hào)處理硬件的市場(chǎng)。 硬件實(shí)現(xiàn)即是設(shè)計(jì)專門的數(shù)字濾波硬件，采用硬件實(shí)現(xiàn) 的方法一般都比采用軟件實(shí)現(xiàn)方法要困難得多，目前主要采用的方法有以下幾種 【 8】 ： （ 1）采用 DSP(Digital Signal Processing)處理器實(shí)現(xiàn) DSP 處理器是專為數(shù)字信號(hào)處理而設(shè)計(jì)的，如 TI 公司的 TMS32OCX 系列， AD 公司的 ADSPZXI， ADSP210X 系列等。國(guó)內(nèi)外的研究機(jī)構(gòu)、公司已經(jīng)推出了不同語(yǔ)一言的信號(hào)濾波處理軟件包。 軟件實(shí)現(xiàn)方法即是在通用的微型計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)。 相對(duì)于前兩種方法， DA 算法既可以全并行實(shí)現(xiàn)，又可以全串行實(shí)現(xiàn)，還可以串并行結(jié)合實(shí)現(xiàn)，可以在硬件規(guī)模和濾波器速度之間作適當(dāng)?shù)恼壑?，是現(xiàn)在被研究的主要方法。分布式算法在完成乘累加功能時(shí)是通過(guò)將各輸入數(shù)據(jù)每一對(duì)應(yīng)位產(chǎn)生的部分積預(yù)先進(jìn)行相加形成相應(yīng)的部分積，然后再對(duì)各個(gè)部分積累加產(chǎn)生最終結(jié)果 【 6】 ，而傳統(tǒng)算法是等到所有乘積已經(jīng)產(chǎn)生之后再來(lái)相加來(lái)完成乘累加運(yùn)算的。所以位串行乘法器雖然使得乘法器的硬件規(guī)模達(dá)到了最省，但是由于是串行運(yùn)算，使得它的運(yùn)算周期過(guò)長(zhǎng)，速度與規(guī)模折衷考慮時(shí)不是最優(yōu)的。但由于一個(gè) 8*8 位的乘法器輸出為 16 位，為了得到正確的 16 位結(jié)果，串行輸入的二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)要進(jìn)行符號(hào)位擴(kuò)展，即將串行輸入 的 8 位二進(jìn)制補(bǔ)碼前補(bǔ) 8 個(gè) 0(對(duì)正數(shù) )或 8 個(gè) 1(對(duì)負(fù)數(shù) )后才輸入乘法器。如果濾波器的長(zhǎng)度增加，乘法器位數(shù)也將變大，硬件規(guī)模將變得十分龐大。 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 在國(guó)內(nèi)外的研究中，設(shè)計(jì) FIR 濾波器所涉及的乘法運(yùn)算方式有：并行乘法、位串行乘法和分布式算法的乘法。由于數(shù)字系統(tǒng)可以對(duì)延時(shí)器加以利用，因此若在數(shù)字濾波器中引入一定程序的非因果性，就可獲得比傳統(tǒng)的因果濾波器更靈活強(qiáng)大的特性。 按照數(shù)字濾波器（ DF）的特性，可分為線性與非線性、因果與非因果、無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng) (IIR)與有限長(zhǎng)沖激響應(yīng) (FIR)等類型。數(shù)字濾波器在語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器能滿足濾波器對(duì)幅度和相位特性的嚴(yán)格要求，避免模擬濾波器所無(wú)法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。數(shù)字濾波器是對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行濾波處理以得到期望的響應(yīng)特性的離散時(shí)間系統(tǒng)。 我國(guó)在上世紀(jì) 50 年代后期開始廣泛使用濾波器，主要應(yīng)用在報(bào)路和話路濾波。濾波技術(shù)對(duì)信號(hào)安全可靠和有效靈活的傳遞至關(guān)重要 【 1】 。 1 緒 論 引言 濾波技術(shù)是信號(hào)分析、信號(hào)處理技術(shù)中的重要分支。無(wú)論是信號(hào)的獲取、傳輸，還是信號(hào)的處理、轉(zhuǎn)換都離不開濾波技術(shù)。 在電子系統(tǒng)中，由于濾波器的好壞直接影響系統(tǒng)的性能，所以濾波技術(shù)已成為備受關(guān)注而熱門的課題，濾波器的研制已受到各國(guó)研究者越來(lái)越多的重視。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，我國(guó)濾波器在研制、生產(chǎn)、應(yīng)用等方面已進(jìn)入國(guó)際發(fā)展軌道，但由于缺少專門研制機(jī)構(gòu)，加之集成工藝 和材料工業(yè)發(fā)展步伐的緩慢，使得我國(guó)在許多新型濾波器的研制和應(yīng)用方面與國(guó)外仍有較大的差距 【 2】 。數(shù)字濾波器一般由寄存器、延時(shí)器、加法器和乘法器等基本數(shù)字電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。隨著集成電路技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器性能不斷提高而成本卻不斷降低。隨著電子計(jì)算機(jī) 和大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，數(shù)字濾波器已具備了高精度、高可靠性、可程控改變性或復(fù)用、便于集成等眾多優(yōu)點(diǎn) 【 3】 。在這些濾波器中，線性時(shí)不變的數(shù)字濾波器是最基本的類型。相對(duì)于 IIR 濾波器， FIR 濾波器具有易 于實(shí)現(xiàn)和系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)，因此得到廣泛的應(yīng)用 【 4】 。 并行乘法雖然速度快，同時(shí)占用的硬件資源極大。 位串行乘法器的實(shí)現(xiàn)方法主要是通過(guò)對(duì)乘法運(yùn)算進(jìn)行分解，用加法器來(lái)完成乘法的功能，也即無(wú)乘法操作的乘法器。如果每一位的運(yùn)算需要一個(gè)時(shí)鐘周期的話，這個(gè)乘法器需要 16 個(gè)時(shí)鐘周期才能計(jì)算出正確結(jié)果，這就意味著此類乘法器要完全計(jì)算出結(jié)果的延遲必將會(huì)很大 【 5】 。 分布式算法 (distributed arithmetic， AD)的主要特點(diǎn)是巧妙的利用 ROM 查找表將固定系數(shù)的乘累加 (Multiplyaccumulator， MAC)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為查表操作，它與傳統(tǒng)算法實(shí)現(xiàn)乘累加運(yùn)算的不同在于執(zhí)行部分積運(yùn)算的先后順序不同。就小位寬來(lái)說(shuō)， AD算法設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的速度可以顯著的超過(guò)基于 MAC的設(shè)計(jì)。 FIR 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)，大體可以分為軟件實(shí)現(xiàn)和硬件實(shí)現(xiàn)方法兩種。利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)器、運(yùn)算器和控制器把濾波所要完成的運(yùn)算編成程序通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)執(zhí)行，軟件可由使用者自已編寫，也可以使用現(xiàn)成的。但是這種方法速度慢，難以對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，雖然可以用快速傅立葉變換算法來(lái)加快計(jì)算速度，但要達(dá)到實(shí)時(shí)處理要付出很高的代價(jià)，因而多用于教學(xué)與科研 【 7】 。它主要數(shù)字運(yùn)算單元是一個(gè)乘累加器(Multiplyaccumulator MAC)，能夠在一個(gè)機(jī)器周期內(nèi)完成一次乘累加運(yùn)算，配有適合于信號(hào)處理的指令，具備獨(dú)特的循環(huán)尋址和倒序?qū)ぶ纺芰?。?2）采用固定功能的專用信號(hào)處理器來(lái)實(shí)現(xiàn) 適用于過(guò)程固定而又追求高速的信號(hào)處理任務(wù)，是以指定的算法來(lái)確定它的結(jié)構(gòu)，使用各種隨機(jī)邏輯器件組成的信號(hào)處理器。 二者相比，固定功能的 DSP 專用器件可以提供很好的實(shí)時(shí)性能，但其靈活性差，研發(fā)周期長(zhǎng)，難度也比較大； DSP 處理器的成本低且速度較快，靈活性好，但由于軟件算法在執(zhí)行時(shí)的順序性，限制了它在 高速和實(shí)時(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用。 現(xiàn)在，大規(guī)?？删幊踢壿嬈骷閿?shù)字信號(hào)處理提供了一種新的實(shí)現(xiàn)方案。 采用現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列 FPGA 來(lái)實(shí)現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器，既兼顧 ASIC 器件 (固定功能 DSP 專用芯片 )的實(shí)時(shí)性、又具有 DSP 處理器的靈活性 。用 FPGA 設(shè)計(jì)的產(chǎn)品還具有體積小、速度快、重量輕、功耗低、可靠性高、仿制困難、上批量成本低等優(yōu)點(diǎn)。所以如何減小查找表的規(guī)模成為尚待解決的問題。數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性好、靈活性強(qiáng)、不要求阻抗匹配，易于修改等特點(diǎn)。 數(shù)字濾波器簡(jiǎn)介 一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字濾波系統(tǒng)如圖 21所示。然后 x(n)通過(guò)數(shù)字濾波系統(tǒng) H(z)，即得到數(shù)字濾波器的輸出 y(n)。一個(gè)線形時(shí)不變因果濾波器可表示為： ??? ?? 10 )()( Nn nznhzH (22) 其中 N為 h(n)的長(zhǎng)度，即濾波器的長(zhǎng)度。與 IIR 濾波器不同， FIR 濾波器可以把相位特性設(shè)計(jì)成線性。 FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)是軟硬件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不用考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；缺點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)較高性能的頻率響應(yīng)需要較高的濾波器階數(shù)。文章主要討論前兩種結(jié) 構(gòu)。對(duì)于直接型結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，一個(gè)長(zhǎng)度為 N的 FIR 濾波器，每產(chǎn)生一個(gè)輸出數(shù)據(jù)，要經(jīng)過(guò) N 次乘法，N1次加法。 h ( 0 ) h ( 1 )h ( 2 )h ( N 2 )h ( N 1 )1?z 1?z1?zy ( n ) 圖 22 直接型結(jié)構(gòu) 于是做了一下改進(jìn)，這種改進(jìn)是基于線性相位的 FIR 數(shù)字濾波器的。 x ( n )1?z1?z1?z1?z1?zh ( 1 ) h ( 2 )h ( N / 2 )y ( n ) 圖 23 直接型的改進(jìn) 由于 )(nh 關(guān)于 2/)1( ?? Nn 對(duì)稱，我們可以將經(jīng)過(guò)延時(shí)環(huán)節(jié)的位置關(guān)于2/)1( ?N 對(duì)稱的數(shù)據(jù)預(yù)先相加，然后可以再乘以相應(yīng)的濾波器系數(shù)進(jìn)行累加得到最終的輸出結(jié)果。 （ 2）級(jí)聯(lián)型結(jié) 構(gòu) 對(duì)式（ 22）進(jìn)行因式分解，并將零點(diǎn)共軛的因式放在一起，這樣產(chǎn)生了若干個(gè)一階子式和二階子式，將一階子式看作二階子式的一個(gè)特例，則系統(tǒng)函數(shù) )(zH 可 以表示為： ?? ?? ??? Ll zazahzH 1 212111 )1()0()( （ 23） FIR 數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖 24 所示。級(jí)聯(lián)型的最大特點(diǎn)是可以分別獨(dú)立調(diào)整每個(gè)子系統(tǒng)的零點(diǎn)之值，當(dāng)需要精確控制濾波器的零點(diǎn)位置時(shí)，往往采用這種結(jié)構(gòu) [5]。下面將分別討論一下這三種方法的設(shè)計(jì)原理，然后給出設(shè)計(jì)步驟，最后在比較一下這三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 )( jwd eH 的 表達(dá)式為 ??? ?? ?? ?ww wweHccjwd ,0 ,1)( （ 24） w)( jwd eH cw? c??? 圖 25 理想低通濾波器頻譜圖 對(duì) )( jwd eH 進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉逆變換，得 ??? ??? dweeHnh jw njwdd )(21)( ?? ?? c cww cjw n n nwdwe ?? )s in(21 （ 25） )(nhd 是一個(gè)關(guān)于 )0(dh 對(duì)稱的無(wú)限長(zhǎng)序列，是系統(tǒng)的單位脈沖