【正文】 )代入得 ?????4a－ 2b＝ 236a＋ 6b＝ 6解得 a＝ 14， b＝－ 12 ∴拋物線的解析式為 y＝ 14x2－ 12x （ 3） 過點(diǎn) N 做 x 軸的垂線 NG，垂足為 G，交 OB 于點(diǎn) Q，過 B 作 BH⊥ x 軸于 H，設(shè) N(x， 14x2－ 12x) 則 Q（ x， x） 則 S? BON ＝ S? BON ＋ S? BON ＝ 12179。 X?？?。 6－ 8＝ 4. ∴綜合三種情況，當(dāng) t＝ 6 時(shí)， S 取得最大值，最大值是 4. （說明：（ 3）中的②也可以省略，但需要 說明：在 （ 2） 中的②與③的△ OPQ，③中的底邊 OP 和高 CD 都大于②中的底邊 OP 和高 .所以③中的△ OPQ 面積一定大于②中的△OPQ 的面積 .） 9. （ 2020 四川南充市， 22， 8 分） 拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的交點(diǎn)為 A（ m－ 4,0）和B(m,0)，與直線 y=－ x+p 相交于點(diǎn) A 和點(diǎn) C(2m－ 4,m－ 6). (1)求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 在拋物線上，且以點(diǎn) P 和 A,C 以及另一點(diǎn) Q 為頂點(diǎn)的平行 四邊形 ACQP面積為 12，求點(diǎn) P,Q 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）條件下，若點(diǎn) M 是 x 軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ⊿ PQM 的面積最大時(shí)，請(qǐng)求出 ⊿ PQM 的最大面積及點(diǎn) M 的坐標(biāo)。 52－ 85179。 22－ 85179。 OD＝ 12（ t－ 4）179。 45t. ＝ 25t2－ 85t（ 4＜ t≤ 5） . ③當(dāng) 5＜ t≤ 6 時(shí)，（如備用圖 2）， 連接 QO， QP. S＝ 12179。QN＝ 12179。QN＝ 12（ 4－ t）179。 2（負(fù)值舍去）． ∴ PG= 3 ， PA=BC=2． ???????? 4 分 易知四邊形 OGPA 是矩形， PA=OG=2， BG=CG=1， ∴ OB=OG－ BG=1， OC=OG+GC=3． O A P 23y x? x y B C 圖 2 G M ∴ A（ 0， 3 ）， B（ 1， 0） C（ 3， 0）． ???????? 6 分 設(shè)二 次函數(shù)解析式為： y=ax2+bx+c． 據(jù)題意得：09 3 03abca b cc? ? ? ??? ? ??? ?? 解之得： a= 33 ， b= 433? ， c= 3 ． ∴二次函數(shù)關(guān)系式為： 23 4 3 333y x x? ? ?． ???????? 9 分 ②解法一：設(shè)直線 BP 的解析式為： y=ux+v，據(jù)題意得： 023uvuv????????? 解之得： u= 3 ， v= 33? ． ∴直線 BP 的解析式為： 3 3 3yx??． 過點(diǎn) A 作直線 AM∥ PB，則可得直線 AM 的解析式為： 33yx??． 解方程組：2333 4 3 333yxy x x? ???? ? ? ??? 得： 1103xy??????? ； 22783xy???????． 過點(diǎn) C 作直線 CM∥ PB，則可設(shè)直線 CM 的解析式為： 3y x t??． ∴ 0=33t? ． ∴ 33t?? ． ∴直線 CM 的解析式為： 3 3 3yx??． 解方程組：23 3 33 4 3 333yxy x x? ???? ? ? ??? 得： 1130xy??? ?? ； 2243xy???????． 綜上可知，滿足條件的 M 的坐標(biāo)有四個(gè)， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 解法二：∵ 12PAB PBC PABCS S S????， ∴ A（ 0， 3 ）， C（ 3， 0）顯然滿足條件． 延長 AP 交拋物線于點(diǎn) M，由拋物線與圓的軸對(duì)稱性可知， PM=PA． 又∵ AM∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 3 ． 又點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 AM=PA+PM=2+2=4． ∴點(diǎn) M（ 4， 3 ）符合要求． 點(diǎn)（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的 M 的坐標(biāo)有四個(gè)， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 解法三：延長 AP 交拋物線于點(diǎn) M，由拋物線與圓的軸對(duì)稱性可知， PM=PA． 又∵ AM∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 3 ． 即 23 4 3 3333xx? ? ?． 解得： 1 0x? （舍）， 2 4x? ． ∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 4， 3 ）． 點(diǎn)（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的 M 的坐標(biāo)有四個(gè)， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 5. （ 2020 山東菏澤， 21， 9 分） 如圖，拋物 線 y＝ 12x2＋ bx－ 2 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，且 A(－ 1， 0)． （ 1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （ 2）判斷 △ ABC 的形狀，證明你的結(jié)論； （ 3）點(diǎn) M(m， 0)是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) MC＋ MD 的值最小時(shí)，求 m 的值． 解： （ 1）把點(diǎn) A(－ 1， 0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y＝ 12x2＋ bx－ 2， 整理后解得 32b??， 所以拋物線的解析式為 213222y x x? ? ?． 頂點(diǎn) D 3 25,28???????． （ 2） ∵ AB=5， AC2=OA2＋ OC2=5， BC2=OC2＋ OB2=20， ∴ AC2＋ BC2=AB2．∴△ ABC 是直角三角形 ． （ 3）作出點(diǎn) C 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) C′，則 C′ (0， 2)， OC′=2． 連接 C′D 交 x 軸于點(diǎn) M， 根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知， MC＋ MD 的值 最小． 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) E ． △C′OM∽ △DEM． ∴ OM OCEM ED?? ． ∴ 23 2528mm??． ∴ m=2441 ． 6. （ 2020 山東濟(jì)寧， 23， 10 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（ 4 ， 1? ）的拋物線交 y 軸于 A 點(diǎn)，交 x 軸于 B ， C 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)） . 已知 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0 ， 3 ） . （ 1）求此拋物線的解析式； A B C D x y O 1 1 1? （ 2）過點(diǎn) B 作線段 AB 的垂線交拋物線于點(diǎn) D ， 如果以點(diǎn) C 為圓心的圓與直線BD 相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸 l 與⊙ C 有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明； （ 3）已知點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于 A ， C 兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PAC? 的面積最大？并求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐 標(biāo)和 PAC? 的最大面積 . 【答案】（ 1）解：設(shè)拋物線為 2( 4) 1y a x? ? ?. ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn) A （ 0， 3），∴ 23 (0 4) 1a? ? ?.∴ 14a? . ∴拋物線為 2211( 4 ) 1 2 344y x x x? ? ? ? ? ?. ??????????? 3 分 (2) 答： l 與⊙ C 相交 . ????????????????????????? 4分 證明：當(dāng) 21 ( 4) 1 04 x? ? ?時(shí)， 1 2x? ， 2 6x? . ∴ B 為（ 2， 0）， C 為（ 6， 0） .∴ 223 2 13AB ? ? ?. 設(shè)⊙ C 與 BD 相切于點(diǎn) E ，連接 CE ，則 90BEC AO B? ? ? ? ?. ∵ 90ABD? ? ? ，∴ 90CBE ABO? ? ?? ?. 又∵ 90BAO ABO? ? ?? ?， ∴ BAO CBE? ? ? .∴ AOB? ∽ BEC? . ∴ CE BCOB AB? .∴ 622 13CE ??.∴ 8 213CE ??.?????????? 6分 A x y B O C D (第 23 題 ) ∵拋物線的對(duì)稱軸 l 為 4x? ，∴ C 點(diǎn)到 l 的距離為 2. ∴拋物線的對(duì)稱軸 l 與⊙ C 相交 . ?????????????????7 分 (3) 解： 如圖， 過點(diǎn) P 作平行于 y 軸的直線交 AC 于點(diǎn) Q . 可求出 AC 的解析式為 1 32yx?? ?.????????????????8 分 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ m ， 21 234mm??），則 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ m ， 1 32m??） . ∴ 221 1 1 33 ( 2 3 )2 4 4 2P Q m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∵ 221 1 3 3 2 7( ) 6 ( 3 )2 4 2 4 4P A C P A Q P C QS S S m m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ∴當(dāng) 3m? 時(shí)， PAC? 的面積最大為 274 . 此時(shí)， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3， 34? ） . ???????????????? 10分 7. （ 2020 山東威海， 25， 12 分） 如圖，拋物線 2y ax bx c? ? ? 交 x 軸于點(diǎn) ( 3,0)A? ，點(diǎn) (1,0)B ,交 y 軸于點(diǎn) (0, 3)E ? ． 點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)，直線 l 過點(diǎn) F 且與 y 軸平行 ． 直線 y x m?? ? 過點(diǎn) C，交 y 軸于點(diǎn) D． （ 1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； A x y B O C D (第 23 題 ) E P Q （ 2）點(diǎn) K 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，過 點(diǎn) K 作 x 軸的垂線與直線 CD 交于點(diǎn) H，與拋物線交于點(diǎn) G,求線段 HG 長度的最 大值； （ 3）在直線 l 上取點(diǎn) M，在 拋物線上取點(diǎn) N，使以點(diǎn) A， C， M， N 為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，求點(diǎn) N 的坐標(biāo) ． 圖① 備用圖 【答案】 解：（ 1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式 ( 1)( 3)y a x x? ? ? ∵ 拋物線與 y 軸交于點(diǎn) (0, 3)E ? ，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 1a? ． ∴所求 函數(shù)表達(dá)式 ( 1)( 3)y x x? ? ? ，即 2 23y x x? ? ? ． （ 2） ∵ 點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)， 點(diǎn) ( 3,0)A? ，點(diǎn) (1,0)B ， ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (5,0)C ． 將點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (5,0)C 代入 y x m?? ? ，得 5m? ． ∴ 直線 CD 的函數(shù)表達(dá)式為 5yx?? ? ． 設(shè) K 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (,0)t ，則 H 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( , 5)tt?? ， G 點(diǎn)的坐標(biāo)為 2( , 2 3)t t t??． ∵ 點(diǎn) K 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， ∴ 31t? ? ? ． ∴ 2 2 23 4 1( 5 ) ( 2 3 ) 3 8 ( )24H G t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∵ 3312? ?? ?， ∴當(dāng) 32t??時(shí)， 線段 HG 長度有最大值 414． （ 3）∵ 點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)， 點(diǎn) (1,0)B ， 點(diǎn) (5,0)C ， ∴ 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 (3,0)F ． ∵ 直線 l 過點(diǎn) F 且與 y 軸平行， ∴ 直線 l 的 函數(shù)表達(dá)式為 3x? ． ∵ 點(diǎn) M 在直線 l 上， 點(diǎn) N 在 拋物線上 ， ∴設(shè) 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (3, )Mm， 點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 2( , 2 3)N n n n??． ∵ 點(diǎn) ( 3,0)A? ， 點(diǎn) (5,0)C ， ∴ 8AC? ． 分情況討論： ① 若線段 AC 是 以點(diǎn) A， C， M， N 為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形的邊，則須 MN∥ AC，且MN＝ AC＝ 8． 當(dāng)點(diǎn) N 在點(diǎn) M 的左側(cè)時(shí)， 3MN n??