注冊巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料-展示頁
2024-09-01 17:44本頁面
【正文】 B、 C 有 A∪ （ B∪C ） = （ A∪B ） ∪C ， A∩ （ B∩C ） =（ A∩B ） ∩C 分配律：對任意事件 A、 B、 C 有 A∪ （ B∩C ） =（ A∪B ） ∩ （ A∪C ）， A∩ （ B∪C ） =（ A∩B ） ∪ （ A∩C ） (2)概率的公理化定義： 設(shè)試驗的樣本空間為 ，隨機(jī)事件 A 為 的子集， P（ A）為實值函數(shù)，若滿足下列三條公理： 公理 對于 任一隨機(jī)事件 A，有 0≤P （ A） ≤1 ， 公理 P（ ） =1， P（ ） =0 公理 對于 一系列互不相容的事件 A1， A2， ?A n? 有 P（ A1+ A2+? ） =P（ A1） +P（ A2） +? 則稱函數(shù) P（ A）為隨機(jī)事件的概率。 本講的難點(diǎn)是：數(shù)理統(tǒng)計方面的參數(shù)估計，假設(shè)檢驗，方差分析，回歸分析。 第八講 概率與數(shù)理統(tǒng)計 一、內(nèi)容提要： 本講主要是講解隨機(jī)事件與概率，古典概率，一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，參數(shù)估計，假設(shè)檢驗，方差分析，回歸分析。 難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的計算以及極限的運(yùn)算。第二講微分學(xué) 一、內(nèi)容提要：本講主要是講解函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。 二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是極限的運(yùn)算、奇偶性的判斷、連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判斷以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)計算問題。 三、內(nèi)容講解： 函數(shù)與極限 函數(shù)的概念與特性 因此，所給級數(shù)是絕對收斂的。 二、本講的重點(diǎn)是： 隨機(jī)事件的關(guān)系，二項概率公式，條件概率，分布函數(shù)的性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)，正態(tài)分布，常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征 。 三、內(nèi)容講解： 隨機(jī)事件與概率： （ 1)隨機(jī)事件的關(guān)系 與運(yùn)算： 包含：若事件 A 發(fā)生，一定導(dǎo)致事件 B 發(fā)生，那么稱事件 B 包含事件 A，記作 A B。 概率的性質(zhì)： （ i） P（ ） =1P（ A） （ ii） (ii)當(dāng) A B 時，有 P（ BA） =P（ B） P（ A） （ iii）當(dāng) A1， A2， ?A n互不相容時，有 P（ A1+ A2+? ） =P（ A1） +P（ A2） +?P （ An） （ iv） P（ A∪B ） =P（ A） +P（ B） P（ AB） (2)條件概率與相互獨(dú)立性： 條件概率：如果 A、 B 是隨機(jī)試驗的兩個事件，且 P（ B） 0，則稱事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 的概率為事件 B 發(fā)生條件下事件 A 發(fā)生的條件概率，記作 P（ A|B）條件概率可以通過下列公式計算： （ P（ B） 0） 乘法定理：兩事件的積 事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積： P（ AB） =P（ A） P（ B|A）（ P（ A） 0） P（ AB） =P（ B） P（ A|B）（ P（ B） 0） 全概率公式：設(shè)事件 A1， A2， ?A n兩兩相斥，且事件 B 為事件 A1+A2+?+A n的子事件，A1+A2+?+A n= ，且 P（ Ai） 0，則對任一事件 B 有 P（ B） =P（ A1） P（ B| A1） + P（ A2） P（ B| A2） +?+ P （ An） P（ B| An）這個公式稱為全概率公式， 貝葉斯公式 事件的相互獨(dú)立性： 若 P（ AB） =P（ A） P（ B），則稱 A、 B 相互獨(dú)立。 （ 4） 重復(fù)獨(dú)立試驗、二項概率公式： 重復(fù)獨(dú)立試驗：做幾個試驗，它們是完全同樣一個試驗的重復(fù)，且它們是相互獨(dú)立的，即相應(yīng)于每一次試驗的隨機(jī)事件的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，稱這類試驗是重復(fù)獨(dú)立試驗。 例 某人投籃，每次命中率為 ，至少命中 4 次的概率是多少？ 解：利用二項公式得：因為有 “ 至少 ” 二字，所以 k 可為 4 或 5 所以至少命中 4 次的概率為： += 例 有三批同一規(guī)格的產(chǎn)品存放在一起， 各批產(chǎn)品分別占存時的 40%、 35%、 25%，而次品率分別為 2%、 1%、 3%，若從這堆存品中隨機(jī)地抽取一個產(chǎn)品，則它是次品的概率為多少。 解 ：由全概率公式可得： 古典概型： 具備下面兩個特點(diǎn)的隨機(jī)試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型： （ 1）可能的試驗結(jié)果的個數(shù)是有限的，記為 n 個； （ 2）兩兩互斥的諸基本事件出現(xiàn)的可能性相等。對于滿足古典概型下的隨機(jī)事件 A 的概率可用下式計算： p(A)=m/n,其中 m 為隨機(jī)事件 A 所所包含的試驗結(jié)果的個數(shù)。 解： 一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征： 一維隨機(jī)變量的概念：一個變量依試驗結(jié)果的改變而取不同的實數(shù)值，而試驗的結(jié)果具有隨機(jī)性，因此這個變量的取值也具有隨機(jī) 性，稱這個變量為一維隨機(jī)變量，記為 X。其分布可用下列表格給出： X x1 x2 ? xi ? 概率 p1 p2 ? pi ? 隨機(jī)變量函數(shù)的分布： 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量的方差： 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義： 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義： 隨機(jī)變量的方差定義： D（ X） =E(XE(X))2 隨機(jī)變量的期望、方差的性質(zhì)：（ 1） E（ k） =k,D(k)=0，其中 k 為常數(shù)； （ 2） E(kX)=k(X), D(kX)=k2D(X), 其中 k 為常數(shù) (3)E(X+k)= E（ X） +k, D(X+k)= D(X) 其中 k 為常（ 4）當(dāng)ξη 相互獨(dú)立時， E（ ξ177。E （ η ）， D（ ξ177。也特指某個指標(biāo) X， X 具有 隨機(jī)性，因此研究總體也轉(zhuǎn)化為研究 X 的分布。一般我們抽取的樣本滿足下面二個條件：（ 1）樣本中的個體相互獨(dú)立，（ 2）樣本中個體的分布同總體的分布。例如：從均值為 μ 方差為 ? 2的總體中抽得一個樣本量為 n 的樣本 X1， X2， ?Xn 其中 μ 、 ? 2未知，那么 X1+ X2， max{X1， X2， ?Xn}是統(tǒng)計量，而 X1+ X2
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