【正文】 AG⊥BE；（2）如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，證明△AON≌△BOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分∠BHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG⊥BE；過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，構(gòu)造全等三角形△AON≌△BOM，從而證明OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45176。在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90176。∴∠ABE+∠BAG=90176?！郃G⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，則四邊形OMHN為矩形．∴∠MON=90176。∠BOM+∠OBM=90176。．與（1）同理，可以證明AG⊥BE．過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，與（2）同理，可以證明△AON≌△BOM，可得OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO=45176。得到△MNQ．設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3）．（1）當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值．（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】試題分析：（1）由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3；（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時(shí)PD=DQ；（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)≤t≤時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．（4）MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)＜t＜，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值．試題解析：（1）∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，∴當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，∴PD=DQ，當(dāng)0＜t＜時(shí)，此時(shí)，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合題意，舍去），當(dāng)≤t＜3時(shí)，此時(shí)，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2； 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2；（3）由題意知：此時(shí)，PD=t，DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如圖①，當(dāng)0≤t≤時(shí)，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如圖②，當(dāng)≤t≤時(shí)，設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，∵M(jìn)N=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等邊三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，此時(shí)＜t＜，t=1或．考點(diǎn)：幾何變換綜合題3．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)B（0，3）．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H．①求證△ADB≌△AOB；②求點(diǎn)H的坐標(biāo)．（3）記K為矩形AOBC對角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①詳見解析；②H（，3）；（3）≤S≤．【解析】【分析】（1）如圖①，在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；（2）①根據(jù)HL證明即可；②，設(shè)AH=BH=m，則HC=BCBH=5m，在Rt△AHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出m即可解決問題；（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90176?！唿c(diǎn)D在線段BE上，∴∠ADB=90176?！郣t△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，設(shè)AH=BH=m，則HC=BCBH=5m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5m）2，∴m=，∴BH=，∴H（，3）．（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，最小值=?DE?DK=3（5）=，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，最大面積=D′E′KD′=3（5+）=．綜上所述，≤S≤．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．4．在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45176。得到△ABG(如圖①)，求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N(如圖②)，求證：EF2=ME2+NF2；(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變(如圖③)，請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45176。得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90176。得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF≌△ABG，則DF=BG，再證明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代換得到EF=BE+DF．試題解析：（1）∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。∵∠EAF=45176。在△AGE與△AFE中，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=D