【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 176。，∴∠EDF＝120176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度7．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB＝4cm，BC＝6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將紙片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B′，過(guò)E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置關(guān)系；（2）求線段B′C的長(zhǎng)，并求△B′EC的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S△B′EC＝．【解析】【分析】（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證得△B39。EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90176。即可得到AE⊥EF；（2）連接BB′，通過(guò)折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點(diǎn)，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長(zhǎng)求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B39。EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF為∠B39。EC的角平分線，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180176。﹣（∠AEB+∠CEF）＝90176。，即∠AEF＝90176。，即AE⊥EF；（2）連接BB39。交AE于點(diǎn)O，由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB39。C三內(nèi)角之和為180176。，∴∠BB39。C＝90176。；∵點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2將AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝ cm，∴BO＝＝cm，∴BB′＝2BO＝cm，∴在Rt△BB39。C中，B′C＝＝cm，由題意可知四邊形OEFB′是矩形，∴EF＝OB′＝，∴S△B′EC＝．【點(diǎn)睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．8．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CO到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對(duì)角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176。＜α＜180176。），若△AON是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出α的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）176。或45176。176?；?35176。176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，∵將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176。，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點(diǎn)N，如圖3，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO∠ADO=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。45176。=45176。；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N，如圖4，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO+90176。=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。+45176。=135176。，Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。=+90=176。，綜上所述：若△AON是等腰三角形時(shí)，176?；?5176。176?；?35176。176。．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)△AON是等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)是本題的難點(diǎn)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣6，0）、點(diǎn)C（0，6），若正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OA′B′C′，記旋轉(zhuǎn)角為α：（1）如圖①，當(dāng)α＝45176。時(shí)，求BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60176。時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）若P為線段BC′的中點(diǎn)，求AP長(zhǎng)的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)α＝45176。時(shí)，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45176。，A′B＝，可求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，證明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段BC′的中點(diǎn)，所以PK＝OC′＝3，即點(diǎn)P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的正方形，當(dāng)α＝45176。時(shí)，如