【正文】 xx x xx ∴ 原式61? 例 2．求10102limxexx?? 解：若直接用00型洛必達法則 1，則得9130 10)2(lim 2xex xx??=12105lim2xexx??（不好辦了，分母 x 的次數(shù)反而增加） 為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令 tx ?21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2?????????? ??（ ?? 型） 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 45 5 !lim lim 0tttttee? ?? ? ??? ? ? ? 例 3 設(shè)函數(shù) ? ? 00)( ?fxf 連續(xù)， ，求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 解：原式??? ??? xxxx duufxdtttfdttfx0000 )()()(lim （分母作變量替換 x t u?? ） ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必達法則，分子、分母各求導(dǎo)數(shù)） （用積分中值定理） 0( 0 )()lim ( ) ( )xxfxf xf x?????? ?（ ? 在 0 和 x 之間） (0) 1(0) (0) 2fff??? 2． ??? 型和 0 ?? 型 例 1 求 )c ossin1(lim 2220 x xxx ?? 解：原式 =xx xxxx 22 2220 sin c ossinlim ??? 42202sin41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 例 2 設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)。 7．無窮小 量 的重要性質(zhì) 有界變量乘無窮小 量 仍是無窮小 量 。 4．無窮小 量 與極限的關(guān)系： l i m ( ) ( ) ( )f x A f x A x?? ? ? ?，其中 lim ( ) 0x? ? 5．兩個無窮小 量 的比較 設(shè) 0)(lim ?xf ， 0)(lim ?xg ，且 lxg xf ?)( )(lim （ 1） 0?l ，稱 )(xf 是比 )(xg 高階的無窮小 量 ，記以 ( ) [ ( )]f x o g x? 稱 )(xg 是比 )(xf 低階的無窮小 量 （ 2） 0?l ，稱 )(xf 與 )(xg 是同階無窮小 量 。 定理 4 設(shè) Axf ?)(lim ， Bxg ?)(lim 則（ 1） BAxgxf ??? )]()([lim （ 2） BAxgxf ??? )]()([lim （ 3） BAxgxf ??? )]()([lim （ 4） )0()( )(lim ?? BBAxg xf （ 5） Bxg Axf ?)()]([lim )0( ?A 二、無窮小 量 1．無窮小 量 定義：若 0)(lim ?xf ，則稱 )(xf 為無窮?。ㄗⅲ簾o窮小與 x 的變化過程有 關(guān)， 01lim ??? xx，當??x 時 x1 為無窮小，而 0xx? 或其它時， x1 不是無窮?。? 2．無窮大 量 定義：任給 M0，當 x 變化一定以后，總有 Mxf ?)( ，則稱 )(xf 為無窮大，記以 ??)(lim xf 。 167。 解：兩邊對 x 求導(dǎo)得 2[ ( ) ] ( ) 2 xxg f x f x x e x e? ??，于是 ( ) (2 ) xxf x x x e? ??，故 ( ) ( 2) xf x x e? ?? ，Cexxf x ??? )1()( ，由 0)0( ?f ，得 1??C ，則 1)1()( ??? xexxf 。 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 例 2( ) s in ( 0 )f x x ????? ? ?常 數(shù) 周 期 = (乙 ) 典型例題 一、定義域與值域 例 1 設(shè) )(xf 的定義域為 ],[ aa? （ 0?a ） 求 )1( 2 ?xf 的定義域 解：要求 axa ???? 12 ，則 axa ???? 11 2 ， 當 1?a 時， 10a?? ， 2 1xa? ? ? ，則 ax ?? 1 當 10 ??a 時， 01 ??a ， axa ????? 11 也即 axa ???? 11 或 axa ?????? 11 例 2 求????????????????? ，xxxxxxxfy 的值域2,)2(122,52,3)(23并求它的反函數(shù)。） 若在 (, )ab 內(nèi)， ( ) 0 , ( )( ) 0 , ( )f x f xf x f x? ?? ? 則 單 調(diào) 增 加則 單 調(diào) 減 少 4． 周期性：設(shè) )(xf 在 X 上有定義，如果存在常數(shù) 0?T ，使得任意 Xx? ， XTx ?? ，都有)()( xfTxf ?? ，則稱 )(xf 是周期函數(shù)，稱 T 為 )(xf 的周期。 若對 Xx? ，都有 ( ) ( )f x f x?? ，則稱 )(xf 在 X 上是偶函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖像 關(guān)于 y 軸對稱。 函數(shù) (甲 ) 內(nèi)容要點 一、函數(shù)的概念 1．函數(shù)的定義 2．分段函數(shù) 3．反函數(shù) 4．隱函數(shù) 二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1．用極 限表示的函數(shù) (1) )(lim xfynn ???, 例 221( ) lim 1nnnxf x xx?????????????????? (2) ),(lim xtfyxt??，例 sin sinsi n( ) limsi nxtxtxtfx x ????? ???? 2．用變上、下限積分表示的函數(shù) (1) ?? xa dttfy )( 其中 )(tf 連續(xù)，則 )(xfdxdy? (2) ?? )()(21 )(xx dttfy ?? 其中 )(),( 21 xx ?? 可導(dǎo)， )(tf 連續(xù)， 則2 2 1 1[ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )dy f x x f x xdx ? ? ? ????? 五、函數(shù)的幾種性質(zhì) 1． 有界性：設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 X 內(nèi)有定義，若存在正數(shù) M，使 Xx? 都有 Mxf ?)( ，則稱 )(xf 在 X 上是有界的。當然，這些定理的使用還是要求大家在平時多通過做題來實現(xiàn)加以鍛煉，還是那句老話，“熟能生巧”，只有熟練掌握這些定理才能更好的、更快速的解題。即令 (或已知概率求隨機變量個數(shù) )的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 (X， Y)滿足條件 Y≥g(X)或 (Y≤g(X))的概率，應(yīng)該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域 D 是由聯(lián)合密度 的平面區(qū)域及滿足 Y≥g(X)或 (Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。 X ~ N 則馬上聯(lián)想到標準化 ~ N(0,1)來處理有關(guān)問題。 ，則馬 上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。 n 階實對稱矩陣 A 為正定矩陣，則用定義處理。 ，聯(lián)想到是否有某行列式為零。 量 a1,a2,…,as 線性無關(guān)，先考慮用定義。 A、 B 是否可交換，即 AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。 ，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合 函數(shù)，則“丌管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式 f(u)。 ，則“丌管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下。下面，萬學(xué)海文數(shù)學(xué) 考研 輔導(dǎo)與家就結(jié)合多年的輔導(dǎo)經(jīng)驗為廣大 20xx 年 考研 學(xué)生簡單的歸納概括一下高數(shù)、現(xiàn)代、概率和數(shù)理統(tǒng)計幾 門科目的快捷定理，希望對考生們能夠有所幫助。 線性代數(shù) （ ① 10 年考題總數(shù)： 51 題 ② 總分值： 256 分 ③ 占三部分題量之比重： 23%④ 占三部分分值之比重： 20%） 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 第一章 行列式 （ ① 10 年考題總數(shù)： 5 題 ② 總分值： 18 分 ③ 占第二部分題量之比重： 9%④ 占第二部分分值之比重： 7%） 題型 1 求矩陣的行列式（十 （ 2）， 20xx；一（ 5）， 20xx；一（ 5）， 20xx；一（ 5）， 20xx） 題型 2 判斷矩陣的行列式是否為零（二（ 4）， 1999） 第二章 矩陣 （ ① 10 年考題總數(shù)： 8 題 ② 總分值： 35 分 ③ 占第二部分題量之比重： 15%④ 占第二部分分值之比重： 13%） 題型 1 判斷矩陣是否可逆或求逆矩陣（八， 1997） 題型 2 解矩陣方程或求矩陣中的參數(shù)（一（ 4）， 1997；十， 20xx；一（ 4）， 20xx） 題型 3 求矩陣的 n 次冪（十一（ 3）， 20xx） 題型 4 初等矩陣與初等變換的關(guān)系的判定（二（ 11）， 20xx；二（ 12）， 20xx） 題型 5 矩陣關(guān)系的判定（二（ 12）， 20xx） 第三章 向量 （ ① 10 年考題總數(shù)： 9 題 ② 總分值： 33 分 ③ 占第二部分題量之比重： 17%④ 占第二部分分值之比重： 12%） 題型 1 向量組線性相關(guān)性的判定或證明（十一， 1998；二（ 4）， 20xx；十一（ 2）， 20xx；二（ 4）， 20xx；二（ 12）， 20xx；二（ 11），20xx；二（ 11）， 20xx） 題型 2 根據(jù)向量的線性相關(guān)性判斷空間位置關(guān)系或逆問題（二（ 4）， 1997；二（ 4）， 20xx） 第四章 線性方程組 （共考過約 11 題， 約 67 分） 題型 1 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解或判定（七（ 1）， 1997；九， 20xx） 題型 2 求線性方程組的通解（十二， 1998；九， 20xx；三（ 20（ Ⅲ ））， 20xx） 題型 3 討論含參數(shù)的線性方程組的解的情況，如果方程組有解時求出通解（三（ 20）， 20xx；三（ 21）， 20xx） 題型 4 根據(jù)含參數(shù)的方程組的解的情況，反求參數(shù)或其他（一（ 4）， 20xx；三（ 20）， 20xx） 題型 5 兩個線性方程組的解的情況和它們的系數(shù)矩陣的關(guān)系的判定（一（ 5）， 20xx） 題型 6 直線的方 程和位置關(guān)系的判定（十， 20xx） 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 第五章 矩陣的特征值和特征向量 （ ① 10 年考題總數(shù)： 13 題 ② 總分值： 76 分 ③ 占第二部分題量之比重： 25%④ 占第二部分分值之比重： 29%） 題型 1 求矩陣的特征值或特征向量（一（ 4）， 1999；十一（ 2）， 20xx；九， 20xx；三（ 21（ Ⅰ ））， 20xx） 題型 2 已知含參數(shù)矩陣的特征向量或特征值或特征方程的情況，求參數(shù)（七（ 2）， 1997；三（ 21）， 20xx） 題型 3 已知伴隨矩陣的特征值或特征向量，求矩陣的特征值或參數(shù)或逆問題（一（ 4）， 1998；十， 1999） 題型 4 將矩陣對角化或判斷矩陣是否可對角化（七（ 2）， 1997；三（ 21），