【正文】 乘無窮小仍是無窮小，可知原式 0? 例 2．求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3．求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解：這個(gè)極限雖是“ 00 ”型，但分子，分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達(dá)法則。 （ 3） 1?l ，稱 ??xf 與 ??xg 是等價(jià)無窮小， 記以 ? ? ? ?xgxf ~ 6．常見的等價(jià)無窮小 當(dāng) 0?x 時(shí) xx~sin ， xx~tan ， xx~arcsin ， xx~arctan 221~cos1 xx? ， xex ~1? ， ? ? xx ~1ln ? ， ? ? xx ?? ~11 ?? 7．無窮小的重要性質(zhì) 有界變量乘無窮小仍是無窮小 三．求極限的方法 1．利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則 2．兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 1．單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 （ 1）若 nn xx ??1 （ n 為正整數(shù)）又 mxn? （ n 為正整數(shù)） 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 11 則 Axnn ???lim存在，且 mA? （ 2）若 nn xx ??1 （ n 為正整數(shù)）又 Mxn? （ n 為正整數(shù)） 則 Axnn ???lim存在，且 MA? 準(zhǔn)則 2．（夾逼定理）設(shè) ? ? ? ? ? ?xhxfxg ?? 若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個(gè)重要公式 公式 1． 1sinlim0 ?? xxx 公式 2． ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ???10 1lim 4．用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換 5． 用泰勒公式（比用等價(jià)無窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 當(dāng) 0?x 時(shí)， ? ?nnx xnxxxe 0!!21 2 ?????? ? ? ? ? ? ? ?121253 0!121!5!3s i n ?? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxx 2242 0!21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxxx 01321ln 132 ???????? ?? ? ? ? ?1212153 012153ar ct an ??? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nn xxn nxxx 0! 11!2 111 2 ??????????? ??????? ?? 6．洛必達(dá)法則 法則 1．（ 00 型）設(shè)（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 12 （ 2） x 變化過程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無窮大量情形，則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無窮大量情形） 法則 2．（ ?? 型）設(shè)（ 1） ? ? ??xflim ， ? ? ??xglim （ 2） x 變化過程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） 7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： ? ? ? ? ? ?0000lim xfx xfxxfx ??? ????? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問題有關(guān)方法 乙 典型例題 一．通過各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限 例 1．設(shè) 0?ma ， 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?? 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 13 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，當(dāng) ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例（ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解：例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式5232132?????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例：（ 1） ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk （ 2） ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 特例：（ 1?l ） ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk （ 2?l ） ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 14 例 6．設(shè) 0?d 為常數(shù)，求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7．求下列各極限 （ 1） x xxx????11lim0 （ 2） x xxx33011lim ???? （ 3）xx xxx ??? ???? 11 11lim330 （ 4） ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二．用兩個(gè)重要公式 例 1．求 xxx ?? ?? sinlim 例 2．求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一：原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 解二：原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 15 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 記以 ? ? ??xflim 3．無窮小與無窮大的關(guān)系 在 x 的同一個(gè)變化過程中 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 10 若 ??xf 為無窮大 ， 則 ??xf1為無窮小， 若 ??xf 為無窮小，且 ? ? 0?xf ， 則 ??xf1為無窮大 4．無窮小與極限的關(guān)系 ? ? ? ? ? ?xAxfAxf ?????l i m 其中 ? ? 0lim ?x? 5．兩個(gè)無窮小的比較 設(shè) ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg ，且 ? ?? ? lxg xf ?lim （ 1） 0?l ，稱 ??xf 是比 ??xg 高階的無窮小，記以 ? ? ? ?? ?xgxf 0? 稱 ??xg 是比 ??xf 低階的無窮小。 2．極限的基本性質(zhì) 定理 1．（極限的唯一性）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 定理 2．（極限的不等式性質(zhì)）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 9 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當(dāng) ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱為極限的保號(hào)性） 定理 3．（極限的局部有界 性）設(shè) ? ? Axf ?lim 則當(dāng) x 變化一定以后， ??xf 是有界的。 （ 3） ? ? Axfx ????lim 任給 0?? ，存在正數(shù) X ，當(dāng) Xx ?? 時(shí)，就有 ? ? ???Axf （ 4） ? ? Axfx ???lim 任給 0?? ，存在正數(shù) X ，當(dāng) Xx? 時(shí)，就有 ? ? ???Axf （ 5） ? ? Axfxx ?? 0lim 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時(shí)，就有 ? ? ???Axf （ 6） ? ? Axfxx ??? 0lim（用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的右極限值） 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時(shí)，就有 ? ? ???Axf （ 7） ? ? Axfxx ??? 0lim（用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的左極限值） 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) 00 ???? xx? 時(shí)，就有 ? ? ???Axf 其中 ? ?00 ?xf 稱為 ??xf 在 0x