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20xx考研數(shù)學(高數(shù)基礎)-文庫吧資料

2024-08-29 19:04本頁面
  

【正文】 乘無窮小仍是無窮小,可知原式 0? 例 2.求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3.求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解:這個極限雖是“ 00 ”型,但分子,分母分別求導數(shù)后的極限不存在,因此不能用洛必達法則。 ( 3) 1?l ,稱 ??xf 與 ??xg 是等價無窮小, 記以 ? ? ? ?xgxf ~ 6.常見的等價無窮小 當 0?x 時 xx~sin , xx~tan , xx~arcsin , xx~arctan 221~cos1 xx? , xex ~1? , ? ? xx ~1ln ? , ? ? xx ?? ~11 ?? 7.無窮小的重要性質 有界變量乘無窮小仍是無窮小 三.求極限的方法 1.利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則 2.兩個準則 準則 1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 ( 1)若 nn xx ??1 ( n 為正整數(shù))又 mxn? ( n 為正整數(shù)) 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 11 則 Axnn ???lim存在,且 mA? ( 2)若 nn xx ??1 ( n 為正整數(shù))又 Mxn? ( n 為正整數(shù)) 則 Axnn ???lim存在,且 MA? 準則 2.(夾逼定理)設 ? ? ? ? ? ?xhxfxg ?? 若 ? ? Axg ?lim , ? ? Axh ?lim ,則 ? ? Axf ?lim 3.兩個重要公式 公式 1. 1sinlim0 ?? xxx 公式 2. ennn ??????? ???11lim ; eu uu ??????? ???11lim ; ? ? ev vv ???10 1lim 4.用無窮小重要性質和等價無窮小代換 5. 用泰勒公式(比用等價無窮小更深刻)(數(shù)學一和數(shù)學二) 當 0?x 時, ? ?nnx xnxxxe 0!!21 2 ?????? ? ? ? ? ? ? ?121253 0!121!5!3s i n ?? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxx 2242 0!21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxxx 01321ln 132 ???????? ?? ? ? ? ?1212153 012153ar ct an ??? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nn xxn nxxx 0! 11!2 111 2 ??????????? ??????? ?? 6.洛必達法則 法則 1.( 00 型)設( 1) ? ? 0lim ?xf , ? ? 0lim ?xg 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 12 ( 2) x 變化過程中, ??xf? , ??xg? 皆存在 ( 3) ? ?? ? Axg xf ???lim(或 ? ) 則 ? ?? ? Axg xf ?lim(或 ? ) (注:如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無窮大量情形,則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無窮大量情形) 法則 2.( ?? 型)設( 1) ? ? ??xflim , ? ? ??xglim ( 2) x 變化過程中, ??xf? , ??xg? 皆存在 ( 3) ? ?? ? Axg xf ???lim(或 ? ) 則 ? ?? ? Axg xf ?lim(或 ? ) 7.利用導數(shù)定義求極限 基本公式: ? ? ? ? ? ?0000lim xfx xfxxfx ??? ????? [如果存在 ] 8.利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9.其它綜合方法 10.求極限的反問題有關方法 乙 典型例題 一.通過各種基本技巧化簡后直接求出極限 例 1.設 0?ma , 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?? 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 13 例 2.設 0?a , 1?r ,當 ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解: ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例( 1)求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解:例 2 中取 32?a , 32??r ,可知原式5232132?????????? ( 2) 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3.求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4.設 l 是正整數(shù),求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例:( 1) ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk ( 2) ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5.設 l 是正整數(shù),求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 特例:( 1?l ) ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk ( 2?l ) ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 14 例 6.設 0?d 為常數(shù),求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7.求下列各極限 ( 1) x xxx????11lim0 ( 2) x xxx33011lim ???? ( 3)xx xxx ??? ???? 11 11lim330 ( 4) ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二.用兩個重要公式 例 1.求 xxx ?? ?? sinlim 例 2.求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一:原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 解二:原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3.求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4.求下列極限 ( 1) 1021lim ??? ?????? ? xx x ( 2) xx xx 10 11lim ?????? ??? ( 3) xx xx ?????? ???? 11lim ( 4) 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 15 例 5.求下列極限 ( 1) ? ? xx x cottan1lim ??? ( 2) 141lim ?? xx x ( 3) ? ? xx x 2cot0 coslim? ( 4) ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三.用夾逼定理求極限 例 1.求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解:令 nnxn 2 12654321 ???? ?, 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 , 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x,于是原極限為 0 。 記以 ? ? ??xflim 3.無窮小與無窮大的關系 在 x 的同一個變化過程中 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 10 若 ??xf 為無窮大 , 則 ??xf1為無窮小, 若 ??xf 為無窮小,且 ? ? 0?xf , 則 ??xf1為無窮大 4.無窮小與極限的關系 ? ? ? ? ? ?xAxfAxf ?????l i m 其中 ? ? 0lim ?x? 5.兩個無窮小的比較 設 ? ? 0lim ?xf , ? ? 0lim ?xg ,且 ? ?? ? lxg xf ?lim ( 1) 0?l ,稱 ??xf 是比 ??xg 高階的無窮小,記以 ? ? ? ?? ?xgxf 0? 稱 ??xg 是比 ??xf 低階的無窮小。 2.極限的基本性質 定理 1.(極限的唯一性)設 ? ? Axf ?lim , ? ? Bxf ?lim ,則 BA? 定理 2.(極限的不等式性質)設 ? ? Axf ?lim , ? ? Bxg ?lim 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 9 若 x 變化一定以后,總有 ? ? ? ?xgxf ? ,則 BA? 反之, BA? ,則 x 變化一定以后,有 ? ? ? ?xgxf ? (注:當 ? ? 0?xg , 0?B 情形也稱為極限的保號性) 定理 3.(極限的局部有界 性)設 ? ? Axf ?lim 則當 x 變化一定以后, ??xf 是有界的。 ( 3) ? ? Axfx ????lim 任給 0?? ,存在正數(shù) X ,當 Xx ?? 時,就有 ? ? ???Axf ( 4) ? ? Axfx ???lim 任給 0?? ,存在正數(shù) X ,當 Xx? 時,就有 ? ? ???Axf ( 5) ? ? Axfxx ?? 0lim 任給 0?? ,存在正數(shù) ? ,當 ???? 00 xx 時,就有 ? ? ???Axf ( 6) ? ? Axfxx ??? 0lim(用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的右極限值) 任給 0?? ,存在正數(shù) ? ,當 ???? 00 xx 時,就有 ? ? ???Axf ( 7) ? ? Axfxx ??? 0lim(用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的左極限值) 任給 0?? ,存在正數(shù) ? ,當 00 ???? xx? 時,就有 ? ? ???Axf 其中 ? ?00 ?xf 稱為 ??xf 在 0x
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