【正文】 指從一些事實的命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。研究對象的關(guān)系得到數(shù)學(xué)的結(jié)論，主要有兩種形式的推理，一種是從小范圍到大范圍的推理，另一種是從大范圍到小范圍的推理，一種或是叫做特殊到一般的推理或者叫一般到特殊的推理。我講課，講圓，不是我黑板上畫出的圓，不是講具體的圓，而是講大家頭腦中的圓，那個叫抽象的存在。如果你想說存在的話就是抽象的存在，是你頭腦中的存在，你看到皮球看到蘋果你知道是個圓。要不然你不知道估算往哪里估，在合適的背景單位上估是第一條，第二條，估算就是大一點估，小一點估，夠不夠的問題，能不能的問題，在課標(biāo)第26李阿姨買魚就是一個例子。估算是要有背景的，要有背景的就是要有數(shù)量，讓孩子得知道在桌上估一個長度要用厘米，在教室上是用米，縣城之間的距離要用公里。抽象是舍去現(xiàn)實背景，數(shù)是對數(shù)量的抽象，它的要害是舍去了現(xiàn)實背景，舍去了所有的物理背景；數(shù)感是對數(shù)的感悟，它要回歸現(xiàn)實背景。我們一直不注意概念的理解，一直只注意怎么算，這樣是不行的，所以我建議關(guān)于角度大小這點，你花點時間用它一堂課，大家畫畫看，慢慢就知道了，角的大小是由長度決定的，這件事情很重要，平面幾何最重要的全等概念，全等概念的核心就是長度不變，這是最重要的。那么角的大小跟什么有關(guān)？后來上了這么一節(jié)課，畫一個角，讓孩子畫出同樣大小的角，一開始用量角器，但是不許用，就把這個角挪到這邊，比哪個在外頭哪個大，后來畫弧，那么單位圓就出來了，弦長就決定了角，幾何的度量是非常重要的，幾何度量的本質(zhì)是長度，我下面再講長度這個事情，度量的本質(zhì)是長度，面積也是同長度有關(guān)的，體積也是同長度有關(guān)的，現(xiàn)在我說了角也是同長度有關(guān)的，所以線的長度是最本質(zhì)的，教幾何位置關(guān)系是重要的，度量是重要的，度量關(guān)鍵是長度，抓住長度做文章就不會出任何問題。什么是角？這是個大問題，書上說的是由一個點出發(fā)引出兩條射線所組成的圖形叫做角，但是這個定義我想半天也沒想明白，是角的哪一塊啊？是整個圖形是角，還是哪個地方是角？第二個，三角形有沒有角？三角形是射線，三角形如果沒有角怎么叫三角形呢？三角形是三個角的意思，有一個方法叫做對應(yīng)法，我說要這樣講，你畫一個圖形，這樣的圖形叫做角，這就是對應(yīng)的方法，就是起個名，把這個圖形叫成角。我們通常的運算是這樣的，2515是用分配率來算的，從上往下和從下往上是一個道理，只要你了解算理，你光教數(shù)是不行的，你得教理，所以我們的小學(xué)老師，我希望我們的孩子們慢慢知道為什么會這樣，說不清楚不要緊，創(chuàng)設(shè)背景能夠感悟就行了，也不用著急。小數(shù)的乘法也同樣最本質(zhì)的是數(shù)量與數(shù)量的運算，單位同單位的運算。這些概念是最基本的概念，這些概念是沒法用其他的詞無法形容的概念，這些概念你得讓孩子們悟出來，這就難了，所以我說教大學(xué)好教，教研究生好教，這個概念他都不懂，你都可以批評他了，你批評小孩子怎么批評呢？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（二）作者：史寧中（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師）就是根據(jù)核心素養(yǎng)抓住最本質(zhì)的東西，計算最本質(zhì)的還在數(shù)位上，只有相同數(shù)位的才能進行計算，個位只能在個位加，十位只能在十位加，包括乘法。什么是方程？含有未知數(shù)的等式是方程，這句話對嗎？我就問編書的，2xx=x是方程嗎？那是運算，怎么叫方程呢？等號有兩個功能，一個是運算，一個是量相等。你看人家講的比我好多了，就是所有的符號，你跟孩子講可能講的不是很清楚，但是你給孩子創(chuàng)設(shè)一個情境，讓孩子去悟。什么是方程呢？就是方程必須講兩個故事，講一個故事怎么來列出方程呢，講兩個故事，兩個故事量相等，所以就這樣講。什么叫加得清楚？什么叫等要清楚？什么叫等？等有兩個概念，一個是運算的結(jié)果，還有一個表示量相等。加法怎么講？加法的本質(zhì)怎么講？加法是最重要的，你們都這樣講的有3個小方塊再加上1個小方塊，4個小方塊，所以3+1+4，對不對？我說為什么等于4，他也說不出來，我說是不是4=3+1，所以3+1=4。還有一件事情就是數(shù)位和數(shù)沒有分出來“十”個個是“十”，“十”個十是“百”，“十”個百是“千”，“十”個千是“萬”，是指數(shù)位，為什么是“十”呢？因為是十進制，數(shù)不是，數(shù)是一個個多起來的，所以萬是計數(shù)單位。我認為讀數(shù)的關(guān)鍵就兩條，一個是符號，09；第二個是數(shù)位，個位的2和十位的2是不一樣的。下課我就問老師你讀數(shù)就這么讀啊。一開始我看孩子們上課前眼睛發(fā)光，聽完這堂課眼睛就迷離了，我說終于把孩子們講糊涂了。不管你怎么教符號，表達是一致的，所以符號表達很重要。還有一個對數(shù)的認識是內(nèi)涵的方法，內(nèi)涵的方法是數(shù)，是一個個多起來的這個叫后繼數(shù)，這個是皮亞諾的算術(shù)工藝體系，數(shù)是一個個多起來的，一個個多起來按+1表示，所以加法同時定義出來的，這是數(shù)學(xué)的公理，這是皮亞諾公理，是自然數(shù)公理。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算負的，負數(shù)就是這么出來的。在小學(xué)課本中是不是這樣講的：負數(shù)最早出現(xiàn)于中國的《九章算術(shù)》。關(guān)于負數(shù)，我都呼吁好幾次了，負數(shù)按我這么講，你們一般是加完等于0的那個就是負數(shù)。這就不行了，孩子小，他不知道你講的3跟蘋果無關(guān)，你講的4跟梨無關(guān)，他不知道這件事情。數(shù)量的本質(zhì)是多和少，抽象到數(shù)就是大和小，數(shù)的大和小是數(shù)的本質(zhì)。我講一個例子：來了一只狼，一只狗敢對付；來一群狼，狗是不是掉頭就跑。數(shù)是符號，是對數(shù)量的抽象，光有概念不很重要，關(guān)系很重要，既然是從數(shù)量中抽象出來的，那么數(shù)的關(guān)系來自于數(shù)量的關(guān)系。對應(yīng)的方法的方法就是起個名字，但是這個起名字是極為重要的，我建議小學(xué)一、二年級用對應(yīng)的方法，有的概念一開始引入得用對應(yīng)的方法，然后用內(nèi)涵的方法，現(xiàn)在我提第一個問題：數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？這個問題比較泛，我不知道，曾問過東北師范大學(xué)研究教育的一位老先生，他回答不上，我就比較著急，因為最根本的問題答不上，我就開始研究了?，F(xiàn)在我提出一個問題，就是在小學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中，抽象大概要經(jīng)過哪幾個必要的步驟？我不是很清楚，這是你們的事，我就往下具體談了，義教階段先談數(shù)、再談運算和幾何。今天我也采取這塊原則，抽象的對象，一個是數(shù)量，一個是圖形。對稱是指什么呢，數(shù)學(xué)要抽象，主要是教材有缺陷，其實應(yīng)該把所有的物理屬性都剔除，就剩下輪廓同顏色也沒有關(guān)系，天安門城樓的輪廓是軸對稱圖形，所以數(shù)學(xué)應(yīng)該是去除一切物理屬性的。你們記住這件事情，光記住概念是不夠的，也沒有什么意義的，得到概念的同時，要不得到概念的性質(zhì)，要不得到概念的之間的關(guān)系，這是很重要的，舍去一切物理屬性，說起來容易，做起來并不是很容易。先談數(shù)學(xué)抽象。現(xiàn)在我進入我要談的主要內(nèi)容，在小學(xué)數(shù)學(xué)中如何教核心素養(yǎng)，主要談三件事情。第二個，數(shù)學(xué)的思維是什么？學(xué)過數(shù)學(xué)的人想問題和沒學(xué)過數(shù)學(xué)的人想問題的本質(zhì)是什么，一般人都認為學(xué)過數(shù)學(xué)的人想問題有邏輯，這就是數(shù)學(xué)的邏輯，引發(fā)的數(shù)學(xué)特征就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性。一定記住你反復(fù)做題時你培養(yǎng)技巧是不行的，技巧是個案的，你要培養(yǎng)技能，但是很多老師培養(yǎng)的是技巧，對這道題好使，數(shù)學(xué)培養(yǎng)的是對很多題都好使。剛才說會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，數(shù)學(xué)的眼光就是學(xué)過數(shù)學(xué)的人看世界同沒學(xué)過數(shù)學(xué)的人看世界有什么差異呢？學(xué)過數(shù)學(xué)的人看世界會抽象，會一般地看問題，因此就是抽象，包括直觀想象。原來十個關(guān)鍵詞的時候有應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在義教階段我不知道怎么樣，反正在高中階段學(xué)會學(xué)習(xí)是很重要的。小學(xué)老師教直觀就是教孩子把結(jié)論看出來，是培養(yǎng)這個直觀。所以義教階段只提了幾何直觀，我在會上提出過任何學(xué)科應(yīng)該把這個學(xué)科的直觀作為培養(yǎng)終極目標(biāo)，但是義教階段是不能都建立起來的，把整個數(shù)學(xué)直觀都建立是很難的一件事情，所以只強調(diào)幾何直觀，在高中時候就多了一點，在大學(xué)時候要都建立起來。我估計在這個課標(biāo)公布后都會討論，我是根據(jù)經(jīng)合組織、科教文組織、歐盟組織等相關(guān)資料，進行總結(jié)合并出這幾句話，你要是查原文的話，我建議去查經(jīng)合組織和歐盟，那是我歸攏總結(jié)出來的。涉及三方面：人與社會、人與自己、人與工具，這是我腦袋中想的，只供參考。必備品質(zhì)是比較難理解的，在此我提出的核心素養(yǎng)供你們參考和理解。什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，原來我不知道這個詞，所以在寫課標(biāo)時寫的是核心概念，我們國家在教育部文件《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)》中提到了核心素養(yǎng)，并且要求修改課程標(biāo)準(zhǔn)，要把學(xué)科核心素養(yǎng)貫穿始終，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”我知道，但是我不知道“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。素養(yǎng)是終極目標(biāo)，這樣我就把常態(tài)教學(xué)和核心素養(yǎng)結(jié)合在一起