【正文】 苦不要緊。第二個，對于孩子來說，他思維的過程同結論是一致的，就是好樣的，你教會他想么，他想的過程和要他得到的結論是一致的，就是對的。小學老師這點厲害，整完之后都比我好，但是一開始我告訴你們大概應該怎么處理，我給小學四年級出這么一道題，“兩個居民點中間有一條路連接起來，我想建個超市，建在哪里？為什么？”大部分孩子答了應該建在中間，因為大家走的一樣遠，答得有道理，滿分；有一個孩子說看看居民點人的多少，居民點人多的近一點，答得更好了，加兩分；還有的孩子更精了，調(diào)查一下哪個居民點的人上超市多少，再加兩分。結果有一些郊區(qū)的學生就同生活經(jīng)驗有關了，那就得看第九次的成績，如果五年一班贏的話，派乙，五年一班輸?shù)脑捙杉祝瑳_一沖么，我倒是建議考它的思維，而且在這樣的時候發(fā)現(xiàn)，思維是同生活閱歷有關的。關于推理，我這題是在北京試的，試完之后我發(fā)現(xiàn)，能考出孩子的生活經(jīng)驗是很重要的一件事?，F(xiàn)在你們出題稍微改一下，我認為這么加四個就行，一個對于概念的理解，第二個邏輯推理怎么樣，第三個運算能力怎么樣，第四個想象力怎么樣。部里讓我關注浙江、上海的高考改革，我建議在不增加題的情況下，從兩個小時增加到三個小時，第一個就是教育質量檢測把時間延長到很長了。我聽一個校長說，他對他們的老師要求是一看就會，一做就對。教育質量檢測是小學四年級和初中八年級要進行教育質量檢測，這個設置在北師大，北師大讓我當數(shù)學教育質量檢測的專家，我很認真參加了三年多。現(xiàn)在我講最后一個問題，如何在評價中考查數(shù)學核心素養(yǎng)，這件事是最大的事。所以現(xiàn)在課標里就寫兩種，一種是加法模型一種是乘法模型，加法模型為了應用起見，寫了總量模型，一種是路程模型，數(shù)學模型是講現(xiàn)實世界中的故事，是用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事，因此在講述數(shù)學模型的時候一定要講述現(xiàn)實世界的故事，因此模型也是一個基本的素養(yǎng)。題是多少種類型，13種類型是不是。這句話是很重要的：現(xiàn)在的同學數(shù)=原來的同學數(shù)+后來的同學數(shù)。在運算過程中你可以省去幾個單位，但是，教課的時候一開始必須講道理，這個就是從歸納的方法得到程式。演繹推理有個毛病，已知a，求證b，a和b都是確定性命題，這樣的話不能用于發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)真理是用一種歸納的方法來做的。這句話用數(shù)學的語言怎么表達呢？證明是很好證明，什么叫加上一個數(shù)比原來的數(shù)大呢？就是對任意的數(shù)a和正數(shù)b，a+b＞a，為什么這樣呢？第一個，b＞0，是正數(shù)，兩面都加上a，剛才我說的命題2，這些結果都是可以證明出來的。它說最本質的應該是這么幾件事，就是加上一個正數(shù)比原來大，你們回去嘗試一下，你們在教研室的時候嘗試一下什么叫對一個概念懂了還是沒懂，就是能不能夠舉例說明，凡是能夠舉出例子就是懂了，舉不出例子就是不懂。幾何這個基本事實很重要，“兩點間直線最短”，這個基本事實是最重要的一個基本事實，幾乎證明不了的，但是代數(shù)有基本事實，以后修改課標可能就會把這兩個基本事實加進去了，一個叫做傳遞性：a=b，b=c，那么a=c；a＞b，b＞c，那么a＞c；第二個，等號的兩邊加、減、乘、除（除不能是0）同一個數(shù)，等號不變，不等號也不變，用這個可以證明什么事情呢？可以證明這件事情：加上一個正數(shù)比原來的數(shù)大。你看蘇格拉底不到80歲就死了，柏拉圖不到80歲就死了，所以凡人不到80歲死去，這句話就不對了，是不是？所以歸納推理不一定對。“蘇格拉底是人，蘇格拉底有死；柏拉圖是人，柏拉圖有死，所以凡人都有死”，這句話是對的，叫做歸納推理。兩種形式推理，這句話是有邏輯的，叫演繹推理。命題的兩種形式，命題經(jīng)常用一個連接詞“是”，A是B，這叫做系詞結構；還有一個是關系命題：如果是怎樣，那么怎樣；若怎樣則怎樣。所以數(shù)學的所有結論是一句話，這句話你能說他對還是不對，這個就是數(shù)學的命題，因此可以判斷這句話是不是數(shù)學的命題，這個三角形是美的，或者這個三角形是白的，不是數(shù)學命題。我們稍微定一下，什么叫做推理呢？推理就是一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。錯在什么地方？這個可較勁了。這和傳統(tǒng)的合情推理有點不一樣，我的想法是把數(shù)學能夠培養(yǎng)講得細一點，所以不包括聯(lián)想和想象，聯(lián)想和想象有點漫無邊際，不是數(shù)學邏輯性所要求的東西。推理，這是高中課標準備給的定義，是指從一些事實的命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。研究對象的關系得到數(shù)學的結論，主要有兩種形式的推理，一種是從小范圍到大范圍的推理，另一種是從大范圍到小范圍的推理，一種或是叫做特殊到一般的推理或者叫一般到特殊的推理。我講課，講圓，不是我黑板上畫出的圓，不是講具體的圓，而是講大家頭腦中的圓，那個叫抽象的存在。如果你想說存在的話就是抽象的存在，是你頭腦中的存在，你看到皮球看到蘋果你知道是個圓。要不然你不知道估算往哪里估，在合適的背景單位上估是第一條，第二條，估算就是大一點估，小一點估，夠不夠的問題，能不能的問題，在課標第26李阿姨買魚就是一個例子。估算是要有背景的，要有背景的就是要有數(shù)量，讓孩子得知道在桌上估一個長度要用厘米，在教室上是用米，縣城之間的距離要用公里。抽象是舍去現(xiàn)實背景，數(shù)是對數(shù)量的抽象，它的要害是舍去了現(xiàn)實背景，舍去了所有的物理背景；數(shù)感是對數(shù)的感悟，它要回歸現(xiàn)實背景。我們一直不注意概念的理解，一直只注意怎么算，這樣是不行的，所以我建議關于角度大小這點，你花點時間用它一堂課，大家畫畫看，慢慢就知道了，角的大小是由長度決定的，這件事情很重要，平面幾何最重要的全等概念，全等概念的核心就是長度不變，這是最重要的。那么角的大小跟什么有關？后來上了這么一節(jié)課，畫一個角，讓孩子畫出同樣大小的角，一開始用量角器，但是不許用，就把這個角挪到這邊，比哪個在外頭哪個大，后來畫弧，那么單位圓就出來了，弦長就決定了角，幾何的度量是非常重要的，幾何度量的本質是長度，我下面再講長度這個事情，度量的本質是長度，面積也是同長度有關的，體積也是同長度有關的，現(xiàn)在我說了角也是同長度有關的，所以線的長度是最本質的，教幾何位置關系是重要的，度量是重要的，度量關鍵是長度，抓住長度做文章就不會出任何問題。什么是角？這是個大問題，書上說的是由一個點出發(fā)引出兩條射線所組成的圖形叫做角，但是這個定義我想半天也沒想明白，是角的哪一塊??？是整個圖形是角，還是哪個地方是角？第二個，三角形有沒有角？三角形是射線，三角形如果沒有角怎么叫三角形呢？三角形是三個角的意思，有一個方法叫做對應法，我說要這樣講，你畫一個圖形，這樣的圖形叫做角，這就是對應的方法，就是起個名，把這個圖形叫成角。我們通常的運算是這樣的，2515是用分配率來算的，從上往下和從下往上是一個道理，只要你了解算理，你光教數(shù)是不行的，你得教理，所以我們的小學老師，我希望我們的孩子們慢慢知道為什么會這樣，說不清楚不要緊，創(chuàng)設背景能夠感悟就行了，也不用著急。小數(shù)的乘法也同樣最本質的是數(shù)量與數(shù)量的運算，單位同單位的運算。這些概念是最基本的概念，這些概念是沒法用其他的詞無法形容的概念，這些概念你得讓孩子們悟出來，這就難了，所以我說教大學好教，教研究生好教，這個概念他都不懂，你都可以批評他了，你批評小孩子怎么批評呢？數(shù)學核心素養(yǎng)和小學數(shù)學教學（二）作者：史寧中（東北師范大學數(shù)學系教授，博士生導師）就是根據(jù)核心素養(yǎng)抓住最本質的東西，計算最本質的還在數(shù)位上，只有相同數(shù)位的才能進行計算，個位只能在個位加，十位只能在十位加，包括乘法。什么是方程？含有未知數(shù)的等式是方程，這句話對嗎？我就問編書的，2xx=x是方程嗎？那是運算，怎么叫方程呢？等號有兩個功能，一個是運算，一個是量相等。你看人家講的比我好多了，就是所有的符號，你跟孩子講可能講的不是很清楚，但是你給孩子創(chuàng)設一個情境，讓孩子去悟。什么是方程呢？就是方程必須講兩個故事，講一個故事怎么來列出方程呢，講兩個故事，兩個故事量相等，所以就這樣講。什么叫加得清楚？什么叫等要清楚？什么叫等？等有兩個概念，一個是運算的結果，還有一個表示量相等。加法怎么講？加法的本質怎么講？加法是最重要的，你們都這樣講的有3個小方塊再加上1個小方塊，4個小方塊，所以3+1+4，對不對？我說為什么等于4，他也說不出來，我說是不是4=3+1，所以3+1=4。還有一件事情就是數(shù)位和數(shù)沒有分出來“十”個個是“十”，“十”個十是“百”，“十”個百是“千”，“十”個千是“萬”，是指數(shù)位，為什么是“十”呢？因為是十進制，數(shù)不是，數(shù)是一個個多起來的，所以萬是計數(shù)單位。我認為讀數(shù)的關鍵就兩條，一個是符號，09；第二個是數(shù)位，個位的2和十位的2是不一樣的。下課我就問老師你讀數(shù)就這么讀啊。一開始我看孩子們上課前眼睛發(fā)光，聽完這堂課眼睛就迷離了，我說終于把孩子們講糊涂了。不管你怎么教符號，表達是一致的，所以符號表達很重要。還有一個對數(shù)的認識是內(nèi)涵的方法，內(nèi)涵的方法是數(shù)，是一個個多起來的這個叫后繼數(shù)，這個是皮亞諾的算術工藝體系，數(shù)是一個個多起來的，一個個多起來按+1表示，所以加法同時定義出來的，這是數(shù)學的公理，這是皮亞諾公理，是自然數(shù)公理。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算負的，負數(shù)就是這么出來的。在小學課本中是不是這樣講的：負數(shù)最早出現(xiàn)于中國的《九章算術》。關于負數(shù)，我都呼吁好幾次了，負數(shù)按我這么講，你們一般是加完等于0的那個就是負數(shù)。這就不行了，孩子小，