【正文】 1 的上半球成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)或 , 這里 時的極限，記作。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。0.第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個點(diǎn)集，如果對于每個點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照一定法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為（或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自為該函數(shù)值域。4(1+4x2)(1+6y2)12x2+3y2x174。0xy174。022x+ysinxy；2）； limx174。0x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時，函數(shù)f(x，y)23(x+y)存在極限，=(x，y)y(x，y)=2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）+y{}： 1）lim3）lim(x+y)In(x+y)；4）limx174。0235。0235。0234。與lim233。0)，求 lim233。1y174。0x+yxyy174。0x174。 ,例2f(x,y)=237。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。x+yf(x,y)=237。0 ,22239。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。x0y174。/⑵的例.(x,y)174。0 ,(x⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)222。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。y0x174。Eyx206。y0x174。y0y206。x0x206。x0x206。Eyy185。Ey上有定義。.222x+二次極限:定義3．設(shè)Ex,Ey204。 驗(yàn)證(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。P174。U0(P0,d)199。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。(0,0)xyx+y(x,y)174。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。(x,y)174。(0,0)limsinxyx2ylim。0 ,(x,y)=(0,0).238。x2+y2(x,y)174。(0,0),239。/ 全面極限存在例4 236。P0, 數(shù)列{f(Pn)}(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P174。 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn174。P0P206。P0P206。E2limf(P)=A2, 但A1185。E1P174。D, (P)=A1，P174。P0P206。P0P206。E推論1設(shè)E1204。D就有l(wèi)imf(P)=174。對D的每一個子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P174。f(x,y)=0.(用極坐標(biāo)變換)P94 (x,y)174。x2+y2239。(0,0),239。0例3 236。(2,1)lim(x2+xy+y2)== 用“ed”定義驗(yàn)證極限 lim2x174。P0(x,y)174。U0(P0,d)199。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。2．R2中的完備性定理：（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:三．二元函數(shù):、記法、圖象：： 例6 求定義域：ⅰ f(x,y)=: 例7 例8 9x2y2x2+y21。).例5 { Pn }, 使limPn=174。y0,(n174。xn174。U(P0,e)或r(P0,Pn)e例4(xn , yn)174。165。R2, P0=(x0 , y0)=P0的定義(用鄰域語言)定義1。R2和空集f為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1x2)2+(y1y2)2163。[ 1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE =E時稱E為開集 , 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:（4）點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離r(P1 , P2).（5）三角不等式：|x1x2|（或|y1y2|）163。E但不是聚點(diǎn)。[ 0 , 1 ] } , D(x)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集.（2）(以凝聚程度分為)聚點(diǎn)和孤立點(diǎn):聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。y163。E, 外點(diǎn)207。E的邊界表示為182。b}.⑸ 簡單域: : 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域， , 空心方鄰域與集{(x,y)|0|xx0|d , 0|yy0|d}． 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?（1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：存在U(A)使U(A)204。2asinq}.⑷ 角域: {(r,q)|a163。1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，, 特別是 {(r,q)|r163。ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]180。 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù):平面點(diǎn)集的表示: E={(x,y)|(x,y)滿足的條件}.:⑴全平面和半平面 : {(x,y)|x179。U(P0)204。165。$N206。存在P0的某個鄰 域U(P0)使U(P0)204。存在某個區(qū)域Da，使P0206。Dn，N=1,2，3，L根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0206。165。d(Dn)163。d(D2)163。D1，A2204。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿足(i)Dn+1204。y163。x163。d1}11=b1a1=(ba),d1c1=(ba)22同理將長方形區(qū)域，劃分成四個長方形子域，而D1被劃分成若個閉子域，其中至少有一個閉子域D2，不能被有限個開域所覆蓋。b1,c1163。1(ba)2+(dc)22記A1={(x,y)|a1163。D，A1204。y163。x163。$a,b,c,d,L使 Dn204。Da)，)證：因?yàn)镈204。R2為一有界閉域，{Da}為一開域族，它覆蓋D(即D204。0,Pn)=0,即P0=P39。165。2d174。r(P0,Pn)+r(P39。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。若還有P39。Dn,n=1,2,L,p174。165。N+，有Pn+p206。對任意確定的n206。R2,使limPn=P0n174。165。dn174。Dn,n=1,2,L,由于Dn+p204。則存在唯一點(diǎn)P0206。Dn+1,n=1,2,L(ii)dn=d(Dn),limdn=0n174。EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開集。,取d=min(d1,d2),則有U(p。d2)199。d1)204。E,p207。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，p206。FE為閉集，而E199。CF是開集，CE是閉集222。y206。A，y207。A222。AICB反之，y206。CB222。x206。A，x207。AB222。CE1UCE2=C(E1IE2)CE1ICE2=C(E1UE2)都是閉集(見(1))222。證：E1，E2都為開集222。CF1UCF2=C(F1IF2)C(F1IF2)是開集，F(xiàn)1IF2是閉集。1,d39。CF2222。20,有U(P，d39。1)204。$d39。Q206。CF1ICF=C(F1UF2)Q206。CF2222。$d1(P，d1)204。P206。P206。C(F1UF2)222。F1UF2222。F1且Q207。CF2222。Q206。C(F1