【正文】 3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。2bc+b1倍數(shù)添項若不等式中含有奇數(shù)項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。s2m2θ+cos2θcosθ1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。、小結(jié)證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版),2007(4).[5] [J].數(shù)學(xué)愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學(xué)報,2006(2).[10] [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁（共13頁）第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設(shè)a,b為不相等的兩個正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設(shè)得a3b3=a2b2222。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個或兩個以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時,[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設(shè)f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。188。故 180。188。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。180。180。352n+142n12342n12n由于,188。188。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。188。 證： 設(shè)A=180。188。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法在證明不等式時,有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。條件,即有，0(1a)a≤.24232。231。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因為a+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個假設(shè)出發(fā)進行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯誤,[5]求證：由小于1的三個正數(shù)a,b,c所組成的三個積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時大于證：（反證法）假設(shè)（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a2***31314141 ① 641a+a246。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=r