利用導數證明不等式-文庫吧資料
2024-10-27 18:46本頁面
【正文】 講 利用導數證明不等式利用導數證明不等式的兩種通法利用導數證明不等式是高考中的一個熱點問題，利用導數證明不等式主要有兩種通法，即函數類不等式證明和常數類不等式證明。通過以上例題，我們可以體會到用導數來證明不等式的基本要領和它的簡捷。)內為減函數； 因為G(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當x0時，G39。(x)0 因此，F（x）在區(qū)間（0，a）內是減函數，在區(qū)間[a,+165。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當0xa時，F39。(x)=lnx+1 設F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。11ln(1+m)ln(1+n)； mnm從而：(1+m)(1+n)。)是減函數，而mn 所以f(m)f(n)，即n39。ln31 因為：x179。證明：設函數f(x)=ln(1+x)，則f(x)=2ln(1+x)+xx1+xx1x39。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m11ln(1+m)ln(1+n)成立。(x)f(0)=0 =x+1x+1即x－lnx0，所以：x0時，xlnx評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。(0,+165。0由f39。)上可導。)是增函數。)。x206。本文通過一些實例，來說明利用導數增證明不等式的基本方法。0。(x)0,f(x)單調遞增當x∈時,f39。x∈則f39。/6利用函數導數單調性證明不等式XX178。/2cosx10所以xx179。/2+cosx1值為0再次對它求導數得xsinx根據剛才證明的當x0sinxx178。/2cosx如果它要證x178。/6對于函數xx179。(a)=12a當00。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區(qū)間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設函數f(x)=xln(x+1)求導，f(x)39。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1i163。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=0 ,即在(0,+165。ln(1+x)x,其中x 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設 f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2
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